Вопросы и упражнения. Определение 3.2.1. Линейным пространством (линеалом) называют множество L элементов произвольной природы

Линеал

Определение 3.2.1. Линейным пространством (линеалом) называют множество L элементов произвольной природы, называемых векторами, для которого:

1) задано правило, по которому любым двум элементам x Î L, y Î L сопоставляется элемент s Î L, называемый их суммой и обозначаемый s = x + y;

2) задано правило, по которому каждому элементу x Î L и любому вещественному числу l Î R сопоставляется элемент p Î L, называемый произведением x на l и обозначаемый p = l x;

3) заданные правила при любых x, y, z Î L и любых вещественных числах l, m Î R подчинены аксиомам:

1^° x + y = y + x;

2^° (x + y) + z = x + (y + z);

3^° 0 Î L, что x + 0 = x;

4^° для x Î L y Î L, что x + y = 0;

5^° l (m x) = (lm)x;

6^° (l + m)x = l x + m x;

7^° l (x + y) = lx + l y;

8^° 1·x = x.

Следует отметить, что в приведенном определении не накладывается никаких ограничений на природу элементов множества L и конкретное задание правил операций суммы (x, y) ® x + y и умножения на число (l, x) ® l x.

Для задания конкретного линеала надо определить множество L и задать на нем операции сложения элементов и умножения элемента на число.

Если в качестве векторов рассматривать направленные отрезки и традиционные линейные операции, то линеалом V 1 является множество всех свободных векторов на прямой. Линеал V 2 — множество всех свободных векторов на плоскости. Линеал V 3 — множество всех свободных векторов в трехмерном пространстве.

Линеал Q = { 0 }, состоящий только из нулевого элемента 0, является простейшим.

Другим примером является линеал — множество упорядоченных наборов n вещественных чисел, где n — произвольное число, причем линейные операции вводятся так:

a + b = (α ₁, α ₂, …, α_n) + (β ₁, β ₂, …, β_n) = (α ₁ + β ₁, α ₂ + β ₂, …, α_n + β_n),

l (α ₁, α ₂, …, α_n) = (lα ₁, lα ₂, …, lα_n).

Линеал иногда называют координатным пространством.

Множество всевозможных матриц фиксированного размера с введенными на этом множестве операциями является линейным пространством.

Отметим, что все линеалы, за исключением простейшего линеала Q, имеют бесконечное количество элементов. Поскольку элементами линеалов являются векторы, то линейные пространства называют векторными пространствами.

В дальнейшем, во избежание недоразумений, где это необходимо, векторы пространств V ¹, V ², V 3 будем называть геометрическими векторами и выделять стрелкой и т. д.

1. Может ли конечное множество ненулевых векторов образовывать линейное пространство?

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да, если они неколлинеарны; 4) да, если они некомпланарны.

2. Является ли множество всевозможных компланарных единичных векторов линейным пространством?

Ответ: 1) да, всегда; 2) нет, никогда; 3) да, если к этому множеству добавить нулевой вектор; 4) нет, так как в этом множестве не определена сумма двух элементов и произведение элемента на число.

3. Образует ли множество полиномов степени не выше заданной линейное пространство?

Ответ: 1) да, если к этому множеству добавить 0; 2) нет, никогда; 3) да, всегда; 4) нет, поскольку полиномы не являются взаимно простыми.

Дата добавления: 2014-01-05