Решение. Алгоритм использования

Пример 1

Алгоритм использования

Ограничения

Назначение

Уитни

U – критерий Манна-Уитни

Ответ

Показатель концентрации внимания испытуемых группы В не выше показателя концентрации внимания в группе А.

Предназначен для оценки различия величин членов двух выборок. Этот критерий основан на подсчете числа инверсий U (переста­новок) членов в их общем упорядоченном ряду.

Объемы выборок должны удовлетворять условиям:

1. n 1 ≥ 3, n 2 ≥ 3, но допускается случай n 1 = 2, n 2 ≥ 5;

2. n 1 ≤ 60, n 2 ≤ 60, но на практике, если n 1 ≥ 20 и n 2 ≥ 20, то применение критерия затруднительно.

При больших объемах выборок лучше использовать другие критерии.

1. проверить ограничения критерия;

2. объединить выборки А и В в одну общую выборку A U B, пометив при­надлежность каждого индивидуального значения к данной группе (цве­том, буквой, шифром). Упорядочить значения признака в объединен­ной выборке по возрастанию и проранжировать все значения, припи­сывая меньшему значению меньший ранг, а равным значениям - рав­ный ранг;

3. разделить выборку на две прежние выборки А и В, ориентируясь на пометки. Подсчитать суммы рангов отдельно для каждой из выборок, обозначить их за Т а и Т в. Считать первой ту выборку, в которой значе­ние по предварительной оценке выше, а второй - ту, в которой значе­ния ниже. Пусть n А - объем выборки А, а n B - объем выборки В. Если ранжирование и подсчет произведены верно, то должно выполняться контрольное равенство:

Т а + Т в = (n А + n B) * (n А + n B + 1): 2.

Результаты занести в таблицу:

Значения A U B	х 1	х 2	х 3	…	х n	Суммы
Место					N	…
Ранг	r 1	r 2	r 3	…	r n	…
Выборка				…		…
Ранги А				…		Т а =?
Ранги В				…		Т в =?

Здесь N = n А + n B - объем объединенной выборки.

4. cформулировать гипотезы:

Н 0: уровень признака в выборке 1 не выше уровня признака в выборке 2;

Н 1: уровень признака в выборке 1 выше уровня признака в выборке 2;

5. вычислить значения U – критерия для каждой из выборок:

U a = n A * n B + n A (n A + 1) – T a

U в = n A * n B + n B (n B + 1) – T в

Найти U эмп., равное наименьшему из величин U а и U в:

U эмп. = min (U a; U b);

6 по таблице 5 приложения по данным n 1 и n 2 найти U кр. (p ≤ 0,05) и U кр (p ≤ 0,01). Изобразить на оси значимости все найденные значения критерия.

­ если U эмп. ≤ U кр. на некотором уровне значимости, то H 0 отвергается, а H 1 принимается на этом уровне значимости;

­ если U эмп. › U кр. на некотором уровне значимости, то Н 0 принимается на том же уровне значимости;

­ чем меньше U эмпирический, тем более вероятно, что сдвиг в типичном направлении статистически достоверен.

Даны результаты тестирования двух групп испытуемых А и В по некоторому признаку или свойству:

­ группа А: 25; 14; 18; 16; 23; 22; 18; 19;

­ группа В: 28; 15; 26; 13; 15; 11; 20; 19; 10; 12;

Можно ли считать, что результаты тестирования в группе В выше, чем в группе А?

1. проверим ограничения критерия n А = 8, 8 > 3 и n B = 10, 10> 3;

2. объединим значения признака в одну общую выборку, приписывая меньшему значению меньший ранг и равным значениям - равные ранги;

3. полученные данные занесем в таблицу (3 - значение, М - место, В - выборка):

З
М
r n						6,5	6,5		9,5	9,5	11,5	11,5
B	В	В	В	В	А	В	В	А	А	А	А	В	В	А	А	А	В	В
T a	-	-	-	-		-	-		9,5	9,5	11,5	-	-				-	-
T в					-	6,5	6,5	-	-	-	-	11,5		-	-	-

Подсчитаем сумму рангов в выборке А и в выборке В: T a = 88, T в = 82,5.

Проверим общую расчетную сумму:

(n А + n B) * (n А + n B + 1): 2 = (8 + 1 0) * (8 + 10 + 1): 2 = 171;

Т а + Т в = 88,5 + 82,5 = 171.

Будем считать выборкой 1 группу В, а выборкой 2 - группу А;

4. сформулируем гипотезы:

Н 0: результаты тестирования в выборке 1 не выше результатов в выборке 2;

Н 1: результаты тестирования в выборке 1 выше результатов в выборке 2;

5. вычислим значения U a и U в:

U a = n A * n B + n A (n A + 1) – T a = 8 * 10 + 8 * (8 + 1): 2 – 88,5 = 27,5

U в = n A * n B + n B (n B + 1) – T в = 8 * 10 + 10 * (10 + 1): 2 – 82,5 = 52,5

Найдем U эмп. = min (U a; U b) = 27,5;

6. по таблице 5 приложения по данным n 1 = 10 и n 2 = 8 найдем U кр (p ≤ 0,05) и U кр. (p ≤ 0,01).

Изобразим на оси значимости все найден­ные значения критерия.

зона значимости зона неопределенности зона не значимости

13 20 27,5

U кр. (p ≤ 0,01) U кр. (p ≤ 0,05) U эмп.

Так как U эмп. > U кр. (p ≤ 0,05) и U эмп. > U кр. (p ≤ 0,01), то H 0 принимается с уровнем значимости p ≤ 0,01, а H 1 отвергается.

Значит, результаты тести­рования в выборке 1 не выше, чем в выборке 2.

Различия между результа­тами в выборках статистически не достоверны, то есть случайны.

Дата добавления: 2014-01-05