О тензорном описании физических свойств кристаллов

Вследствие анизотропии свойств кристаллов явление, вызванное в кристалле каким либо воздействием (т.е. реакция кристалла на это воздействие) не совпадает по направлению с этим воздействием. Вообще связь между воздействием, направленным на какое-то свойство кристалла и явлением (реакций кристалла) представляет соотношением

Явление = свойство ·воздействие.

Если воздействие и реакции на него скалярны, то и соответствующее свойство изотропно (скалярно). Простейший пример: связь плотности и температуры. Здесь бессмысленно говорить о направлении. Значение скаляра полностью определяется заданием одного числа. Скаляры можно назвать тензорами нулевого ранга. Такие величины не меняются при переходе от одной системы координат к другой.

Векторы – (тензоры 1-го ранга) представляют физические величины, которые могут быть определены только по отношению к направлению. Пример: механическая сила, приложенная в некоторой точке, будет определена как величиной, так и направлением. Векторами является напряженность электрического и магнитного поля, момент магнитного диполя, градиент температуры и пр.

В прямоугольной системе координат вектор задается компонентами вектора вдоль координатных осей, т.е.

E = (E₁,E₂,E₃).

Вектор называется тензором первого ранга. Операции с векторами являются предметом векторного анализа (правила скалярного и векторного произведения, понятия градиента, дивергенции, ротора и пр.).

Тензоры второго ранга. Понятие вектора можно расширить. Рассмотрим пример с плотностью электрического тока сначала в изотропной среде. Если к проводнику приложено электрическое поле E, то плотность j (тоже вектор) пропорциональна E и совпадает по направлению с вектором E, т.е.

j =τ E,

где τ -электропроводность. (Предполагается, что закон Ома справедлив).

В координатах x₁, x₂, x₃

j = [j₁,j₂,j₃] и E = [E₁,E₂,E₃],

причем

j₁ = τ E₁, j₂ = τ E₂, j₃ = τ E₃.

Каждая компонента j пропорциональна соответствующей компоненте E.

Теперь поговорим о кристалле, анизотропном по электропроводности, это значит, что электропроводность зависит от направления и векторы E и j не будут совпадать по направлению, т.е.

j₁ = τ₁₁ E₁ + τ₁₂ E₂ + τ₁₃ E₃,

j₂ = τ₂₁ E₁ + τ₂₂ E₂ + τ₂₃ E₃,

j₃ = τ₃₁ E₁ + τ₃₂ E₂ + τ₃₃ E₃.

Здесь τ₁₁, τ₁₂ ..... константы (их 9). Каждая компонента j линейно зависит от всех трех компонент E.

В частности, если поле приложено вдоль одной из осей, например, x₁, т.о.

E = (E₁,0,0),

причем

j₁ = τ₁₁ E₁,

j₂ = τ₂₁ E₁,

j₃ = τ₃₁ E₁.

Т.е. вектор j все равно имеет составляющие по всем трем осям.

Т.о., чтобы определить электропроводность анизотропного кристалла необходимо задать девять коэффициентов вида τ₁₁, τ₁₂, ….

Для удобства их можно записать в виде квадратной таблицы:

τ₁₁ τ₁₂ τ₁₃

τ₂₁ τ₂₂ τ₂₃

τ₃₁ τ₃₂ τ_33.

Такая таблица называется тензором второго ранга; τ₁₁, τ₁₂, τ₁₃ составляют компоненты тензора.

В результате получим три типа величин:

а) Тензор нулевого ранга (скаляр), определяется единственным числом, не зависящим от системы координат.

б) Тензор первого ранга (вектор), определяется тремя числами (компонентами), связанными с осями координат.

в) Тензор второго ранга определяется девятью числами (компонентами) каждое из которых связано с парой осей координат, взятых в определенном порядке.

При этом число индексов равно рангу тензора. Приводят также тензоры третьего и четвертого рангов, о них позже. Все сказанное справедливо не только для электропроводности.

В общем случае, если свойство Т связывает два вектора p(p₁,p₂,p₃) и g(g₁,g₂,g₃),

таким образом, что

p₁ = T₁₁ g₁ + T₁₂ g₂ + T₁₃ g₃,

p₁ = T₂₁ g₁ + T₂₂ g₂ + T₂₃ g₃, (8)

p₁ = T₃₁ g₁ + T₃₂ g₂ + T₃₃ g₃.

где T₁₁, T₁₂,….- константы, то говорят, что T₁₁, T₁₂,…. образуют тензор второго ранга.

Т₁₁ T₁₂ T₁₃

T₂₁ T₂₂ T₂₃

T₃₁ T₃₂ T₃₃

В таблице 5 приведены некоторые примеры свойств, описываемых тензорами второго ранга.

Таблица 5

Тензорное свойство	Воздействие	Явление, эффект
Удельная электропроводность   Коэффициенты теплопроводности   Диэлектрическая проницаемость   Диэлектрическая восприимчивость   Магнитная проницаемость   Магнитная восприимчивость	Напряженность электрического поля   Температурный градиент   Напряженность электрического поля   То же     Напряженность магнитного поля   То же	Плотность электрического тока   Плотность теплового потока   Электрическая индукция   Диэлектрическая поляризация   Магнитная индукция     Намагниченность

‌Сокращенная запись.

Уравнение (8) можно записать в виде:

p₁ =∑³_j=1 T_ij g_j,

p₂ =∑³_j=1 T_ij g_j, (9)

p₃ =∑³_j=1 T_ij g_j,

или еще компактнее

p_i =∑³_j=1 T_ij g_j (I =1,2,3). (10)

Теперь опустим знак суммирования

p_i = T_ij g_j, (i, j =1,2,3, (11)

введя правило суммирования (по Эйнштейну): если в одном и том же члене индекс (j) повторяется дважды, то автоматически подразумевается суммирование по этому индексу.

Индекс j в уравнениях (8) – (11) называется индексом суммирования (немым индексом), индекс i называется свободным.

В уравнении, записанном в сокращенной форме, свободные индексы должны быть одинаковы во всех членах уравнения в обеих его частях, а индексы суммирования должны встречаться по два раза в каждом члене суммы.

Можно сказать, что индексы суммирования суммируют соотношение между векторами p и g в кристалле. Выражение (11) для изотропного кристалла упрощается:

p_i = T g_j, (12)

где T= const.

Сокращенно тензор, характеризующий свойство кристалла, обозначают [T_ij],

иногда скобки опускают: T_ij. Точно также вместо p(p₁,p₂,p₃) обозначают [p_i] или просто p_i.

Важный для практики вопрос о преобразовании координат тензора мы не рассматриваем.

Тензорное описание воздействий на кристалл (электрические, механические и тепловые воздействия)

Электрическое воздействие

Для описания воздействия электрического поля на кристалл и реакции на это воздействие используются три векторные величины:

E – интенсивность или напряженность электрического поля;

p – вектор поляризации или электрический момент диполя, направленный вдоль оси диполя, образовавшегося при поляризации диэлектрика, от отрицательного заряда к положительному, и равный произведению величины наведенных зарядов на расстояние между ними;

D – вектор электрического смещения или индукции.

В общем случае связь между ними задается выражением:

D = ε₀E + p (13)

где ε₀ = 8,85*10^-12 Ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума.

При этом p = ε₀χ E, где χ – диэлектрическая восприимчивость. Индукция D является векторной суммой воздействия Е и реакции на это воздействие р.

Очевидно, что

D = ε₀E + ε₀χ E = ε₀(1 + χ) E,

где ε = ε₀(1 + χ) – диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Часто пользуются понятием диэлектрической постоянной или относительной диэлектрической проницаемостью

K = (1+ χ)/ ε₀

тогда

D = ε₀ K E.

В изотропном диэлектрике векторы D, E и p коллинеарны, а параметры χ и ε скалярны.

Для анизотропного диэлектрика картина усложняется. Заряды при поляризации смещаются не по направлению электрического поля и векторы D, E и p не совпадают по направлению (рис. 12).

Рис. 12. Направление векторов Е, р и D в анизотропном кристалле.

Т. о. поле E, направленное, например, вдоль одной оси координат, создает в кристалле индукцию D, имеющую компоненты по всем трем координатам:

D_i = f(E₁,E₂,E₃).

В общем случае можно записать

D₁ = ε₁₁ E₁ + ε₁₂ E₂+ ε₁₃ E₃,

D₂ = ε₂₁ E₁ + ε₂₂ E₂+ ε₂₃ E₃,

D₃ = ε₃₁ E₁ + ε₃₂ E₂+ ε₃₃ E₃.

Девять величин ε₁₁, ε₁₂,…. ε₃₃ образуют тензор второго ранга, характеризующий диэлектрическую проницаемость кристалла: ε_ij. Он характеризует кристалл и не зависит от выбора системы координат. К каким эффектам это может привести, рассмотрим ниже.

Пока же отметим очевидный факт: под действием внешнего электрического поля в кристалле могут возникать как продольные, так и поперечные эффекты.

Таким образом, для анизотропной среды справедливо:

D_i = ε_ij E_j, (14)

где ε_ij – тензор диэлектрической проницательности, являющийся параметром анизотропной среды, т. е. тензором материальным.

Механические воздействия

Если тело находится под действием внешних сил или даже если любая часть тела находится под механическим воздействием соседних частей, то говорят, что тело находится в напряженном состоянии.

Выделим в теле некоторый элемент, находящийся в напряженном состоянии. Силы, на него действующие, можно разделить на два типа. Во-первых, объемные силы, действующие на все элементы тела, (например, сила тяжести). Они пропорциональны объему элемента. Во-вторых, силы, действующие на поверхность элемента со стороны окружающих его частей тела. Они пропорциональны площади поверхности элемента. Эти силы, отнесенные к поверхности элемента называются напряжением. Обозначим напряжение буквой T. Это – вектор упругих напряжений.

Если разложить напряжение по координатным осям (рис. 13), можно выделить нормальные и сдвиговые компоненты напряжений.

Рис. 13. Векторы напряжений на поверхности элементарного куба

Напряжение в кристалле описывается тензором второго ранга T_ij. Он имеет принципиальные отличия от введенных раньше тензоров электрической проводимости и диэлектрической проницаемости, которые описывали физические свойства собственно кристалла и являлись его неотъемлемой характеристикой, жестко связанной со структурой (симметрией) кристалла. Это были так называемые материальные тензоры.

Тензор напряжения не описывает каких либо физических свойств кристалла, может иметь любую ориентацию и имеет смысл как для анизотропных, так и изотропных тел. По смыслу он близок к силе, действующей на кристалл. В этом рассмотрении он подобен электрическому полю, которое также может быть приложено к телу в произвольном направлении. Такие тензоры называют полевыми тензорами или тензорами воздействия.

Под действием напряжений в теле возникают деформации. Деформации, если они невелики, подчиняются закону Гука – основному закону теории упругости – а именно деформация, возникающая в теле под действием силы, пропорциональна этой силе. Деформация является упругой, если после прекращения действия силы форма тела полностью восстанавливается.

Для изотропных тел закон Гука выражается формулой

T = δс,

или

δ = sT,

здесь T – напряжение,

δ – деформация,

с – жесткость(константа упругости, постоянная жесткости),

s – податливость.

Смысл коэффициентов с и sясен из названия. В анизотропных телах жесткость и податливость является тензорными величинами, т. е. зависит от направления. Естественно, и деформация будет характеризоваться тензором. Тензором же описывается напряжение.

Таким образом, каждая компонента тензора деформации δ _ij связана с каждой компонентой тензора T_ki соотношением

δ₁₁ = s₁₁₁₁ T₁₁ + s₁₁₁₂ T₁₂+ s₁₁₁₃ T₁₃+ s₁₁₂₁ T₂₁+ s₁₁₂₂ T₂₂+ s₁₁₂₃ T₂₃+ s₁₁₃₁ T₃₁+

+ s₁₁₃₂T₃₂+ s₁₁₃₃ T₃₃

и еще восемью аналогичными выражениями для δ _ij, в каждое из которых входит девять коэффициентов s_ijkl, образующих тензор четвертого ранга в матрице которого содержится 81 компонента.

Коэффициент c_ijklтакже образует тензор четвертого ранга.

В тензорной форме для анизотропной среды закон Гука принимает форму:

T_ij = δ_kl c_ijkl,

или

δ_ij = s_ijkl T_kl.

Смысл последних выражений заключается в том, что деформация кристалла зависит не только от направлений и типа проложенного напряжения. Если одноосное растягивающее напряжение в изотропном материале вызвало бы только растяжение вдоль той же оси и некоторое сокращение поперечного сечения, то в анизотропном кристалле оно может вызвать растяжение, сжатия и сдвиги в любых направлениях в зависимости от симметрии кристалла.

Тепловое расширение

Отмечено, что деформация – полевой тензор, но если внешнее воздействие изотропно, а тело анизотропно, то деформация будет согласовываться со структурой кристалла. Пусть происходит однорядное изменение температуры (скалярное воздействие), тогда все компоненты тензора деформаций будет(в первом приближении) пропорциональны малому изменению температуры Δt

δ_ij = α_ij Δt,

где коэффициенты теплового расширения α_ij– постоянные,образующие материальный тензор второго ранга,

α₁₁ α₁₂ α₁₃

α₂₁ α₂₂ α₂₃

α₃₁ α₃₂ α_33.

Здесь α_11, α_22, α₃₃ - главные коэффициенты теплового расширения вдоль осей x₁, x₂,x₃.

Т. о. деформация по осям составит

δ₁₁ = α₁₁ Δt

δ₂₂ = α₂₂ Δt

δ₃₃ = α₃₃ Δt.

Важно отметить, что кристалл расширяется неодинаково вдоль трех главных осей. Если из кристалла вырезать шар, то в результате теплового расширения он превратится в трехосный эллипсоид.

5. Взаимная связь физических свойств и явлений в кристаллах

При описании свойств кристаллов обычно отдельные свойства и явления в них выделяются искусственно и рассматриваются независимо друг от друга. В действительности свойства кристаллов взаимосвязаны и при внешних воздействиях возникают несколько явлений переплетающихся друг с другом.

Так, при нагреве кристалла естественно происходит изменение его энтропии и теплового расширения, но при этом возникают термоупругие напряжения, а они, в свою очередь, вызывают электрическое поле вследствие пироэлектрического эффекта.

Воздействие электрического поля создает электрическую поляризацию, электростатический эффект, приводит к изменению размеров и механическим напряжением (обратный пьезоэлектрический эффект).

Одно и то же явление может быть вызвано разными воздействиями за счет разных свойств кристалла. Например, механическая деформация может быть связана с

- упругостью при механическом воздействии,

- пьезоэлектрическим эффектом под действием тока,

- тепловым расширением.

Таким образом от условий опыта зависит, что считать воздействием, а что – эффектом, так как свойства проявляются и могут быть использованы в сложном взаимодействии.

В некоторых случаях удается обобщить представления о взаимной связи физических свойств кристаллов. Обобщение сделано, например, для тепловых, механических и диэлектрических свойств диэлектрического кристалла. При этом необходимо соблюдать два условия: линейность процессов и их термодинамическая обратимость.

Выберем в качестве основных воздействий (независимых переменных) механическое напряжение Т, напряженность электрического поля E, температуру t и поместим их во внешние вершины треугольной диаграммы (рис. 14). Обусловленные этими воздействиями основные эффекты расположены в вершинах внутреннего треугольника. Обсудим их.

1) Механическое напряжение T создает деформацию δ, подчиняющуюся при малых значениях Т и δ закону Гука. Эффекту деформации соответствует отрезок 1 на диаграмме.

2) Воздействие электрического поля Е приводит к поляризации диэлектрика и создает электрическое смещение D (отрезок 2 на диаграмме).

3) Изменение температуры dt, вызывает изменение энтропии dU:

dU=C/t · dt,

где С - теплоемкость.

Эта связь представлена отрезком 3.

В диаграмме все линии связей между вершинами треугольников имеют определенный смысл. Так прямые связи внешних вершин характеризуют:

Отрезок 4 – электромеханические эффекты;

Отрезок 5 – электротермические;

Отрезок 6 – термоупругие.

Связи между вершинами внутреннего треугольника соответствуют следующим эффектам:

Электрическая поляризация может привести к деформации кристалла путем электрострикции (связь 15) или изменить его температуру из-за выделения теплоты поляризации(связь 13); Линия 14 характеризует теплоту, выделяющуюся при механической деформации.

Рис. 14. Схема взаимной связи равновесных физических свойств кристалла.

Т - механическое напряжение, δ – механическая деформация, t – температура, U – энтропия, 1 – упругость, 2 – диэлектрическая проницаемость, 3 – теплоемкость, 4 – электромеханические эффекты, 5 – электротермические эффекты, 6 – термоупругие эффекты, 7 – прямой пьезоэлектрический эффект, 8 – пьезокалорический эффект, 9 – обратный пьезоэлектрический эффект, 10 – электрокалорический эффект, 11 - тепловое расширение, 12 – пироэлектрический эффект, 13 – теплота поляризации, 14 – теплота деформации, 15 - электрострикция.

Из диаграммы следует, что связи между воздействиями и эффектами могут быть и не прямыми. Так, деформация δ возникает не только непосредственно за счет внешнего механического напряжения, но и за счет вторичных эффектов: напряжение Т создает электрическую поляризацию за счет пьезоэлектрического эффекта (связь 7), а возникшее электрическое поле вызовет деформацию из-за электрострикции (связь 15).

Другим примером служит вторичный (или ”ложный”) пироэлектрический эффект в пьезоэлектрических кристаллах. Его рассмотрим подробнее позднее.

Приведенный пример взаимосвязей свойств кристалла, естественно, не является исчерпывающим. Вообще не все свойства присущи кристаллам одного типа. Они связаны также с составом кристаллического вещества, типом симметрии его решетки и другими факторами. Например, оптические свойства, магнитные свойства формально присущи любому кристаллу, но практически для технических применений используются далеко не все. Не у всех кристаллов выражен пьезоэлектрический эффект. Например, кристаллы с решеткой алмазного типа (т.е. например Ge и Si) им не обладают, но он есть у арсенида галлия (решетка типа цинковой обманки). Но лучше всего это свойство изучено и шире всего используется у кристаллического кварца. Диаграмму, подобную рассмотренной, можно построить, например, для представления взаимосвязи оптических, механических и электрических свойств кристаллов, используемых для электро-акусто-оптической обработки информации.

Рассмотрим более подробно некоторые физические явления в кристаллах.

Пироэлектрический эффект

Из рассмотренного ранее соотношения явление (эффект) = свойство * воздействие следует, что если воздействие скалярно, а эффект – векторный, то и свойство должно быть векторным (тензорным), т.е.

Вектор = вектор * скаляр.

Классическим свойством кристаллов, подчиняющихся этому правилу, является пироэлектрический эффект (на диаграмме эта связь под №12).

Пироэлектричество проявляется в свойстве кристалла диэлектрика изменять величину электрической поляризации при изменении температуры. В результате нагревания или охлаждения пироэлектрического кристалла на его гранях появляются электрические заряды.

Кристаллы пироэлектрических веществ это диэлектрики, обладающие спонтанной (самопроизвольной) электрической поляризацией.

Например, это турмалин, пентаэритрит. К пироэлектрикам относятся также сегнетоэлектрики, это так называемые – “мягкие пироэлектрики“ у которых направление спонтанной поляризации можно изменить внешним полем.

В таких кристаллах можно выделить элементарные ячейки, имеющие некомпенсированный электрический дипольный момент:

p = q· l,

где q – заряд, l – расстояние между равными и противоположными по знаку зарядами.

Если диполи ориентированы одинаково, то кристалл оказывается электрически поляризованным. Спонтанная поляризация определяется как сумма дипольных моментов в единице объема:

.

Численно она равна поверхностной плотности зарядов σ на противоположных гранях кристалла, нормальных к направлению P.

Если кристалл достаточно долго находится при постоянной температуре, то избыточные заряды на его поверхности компенсируются за счет утечек, взаимодействия с ионами воздуха и кристалл практически не обнаруживает внешне электрической поляризации. Если температуру кристалла однородно изменить на ∆t, то анизотропно меняются расстояния и углы между элементарными ячейками, меняется спонтанная поляризация, смещаются заряды диполей и в кристалле появляется постоянная поляризация вдоль направления, называемого электрической осью. То есть в результате изотропного действия температуры (∆t) в кристалле появляется дополнительно электрическая поляризация ∆p, то есть векторное свойство.

Впервые пироэлектрический эффект был обнаружен на кристаллах турмалина. На белой бумаге, на которой лежали кристаллы, пыль собиралась около концов кристалла (поляризация появлялась при колебаниях комнатной температуры). Особенно наглядно это проявляется, если нагретый кристалл турмалина посыпать порошком из смеси серы и сурика, которые при трении поляризуются. Пылинки серы и сурика притягиваются к разным по знаку заряда концам кристалла. Другая известная демонстрация эффекта – если охладить кристалл турмалина в жидком азоте, а затем вынуть на воздух, то на концах кристалла начинает расти “борода” из ледяных кристаллов, образующихся при замерзании частиц влаги, конденсирующихся из воздуха.

Уравнение пироэлектрического эффекта в общем нелинейно

∆P=γ₁∆t+ γ₂∆t²,

где γ₁,γ₂- коэффициенты пироэлектрического эффекта (γ₁<<γ₂). Часто ограничиваются линейным уравнением

∆P=γ∆t,

где ∆t- скаляр, ∆P,γ- векторы.

Пироэлектрические кристаллы используются достаточно давно, но недостаточно широко.

Они очень перспективны для изделий микросистемной техники.

Что на них можно делать?

Датчики температуры с чувствительностью вплоть до 10^{-9 0}C.

Приемники инфракрасного излучения, датчики ударных волн, измерители напряжения, ячейки памяти. Используют их и в преобразователях тепловой (не обязательно солнечной) энергии в электрическую.

Некоторые цифры. Пластинка турмалина, толщиной 1 мм, имеет γ= 1,3*10^-5 Кл/м² *К. Регистрирует изменение температуры 10^{-5 0}C. При нагреве на 10 ⁰C на ней образуется заряд с поверхностно плотностью 5*10^-5 Кл*м², что соответствует разности потенциала между гранями ~1,2кВ. У сегнетоэлектриков пироэлектрический коэффициент на 1-2 порядка больше, чем у турмалина.

Некоторые значения γ при 20 ⁰C.

Турмалин 1,3*10^-5

Сульфат лития 3*10^-4

Ниобат лития 2*10^-3

Танталат лития 1*10^-4

Титанат бария (0,5-1)*10^-3

Сегнетокерамика 5*10^-5

(цирконат-титанат свинца)

Наблюдение и использование пироэлектрического эффекта осложняется и ограничивается эффектами проводимости (утечками).

Кроме того, каждый пироэлектрический кристалл является пьезоэлектриком. Изменение температуры кристалла, особенно неоднородное, вызывает деформацию, а следом идет пьезоэлектрическая поляризация, накладывающаяся на поляризацию, вызванную пироэффектом. То есть имеет место “первичный” (“истинный”) пироэффект и “вторичный” или “ложный” пироэффект.

Если поместить пироэлектрический кристалл в электрическое поле и менять его напряженность, то должен наблюдаться обратный пироэлектрическому электрокалорический эффект(10), то есть изменение температуры пироэлектрика, вызванное изменением приложенного к нему электрического поля. Его предсказали ещё в 19 веке Липман (1880) и Кельвин (1889), а вскоре обнаружили и экспериментально. Но он очень мал: для той же пластинки турмалина в 1 мм толщиной, изменение на 1/300 В дает изменение температуры порядка 10^{-5 0C}. В сегнетодиэлектриках чувствительность значительно выше: так, в кристаллах КН₂РО₄ температура фазового перехода за счет сильных полей (вблизи точки Кюри) может изменяться примерно на 2⁰C.

Пьезоэлектрический эффект

Пьезоэлектрический эффект состоит в том, что под действием механического напряжения или деформации в кристалле возникает электрическая поляризация (величина и знак которой зависит от приложенного напряжения (7)). Обратный пьезоэлектрический эффект – это механическая деформация кристалла, вызванная приложенным электрическим полем, величина и тип деформации зависит от величины и знака поля (9). При этом электрическое поле может характеризоваться вектором электрической поляризации Р, электрической индукции D или вектором Е, а действующее на кристалл механическое усилие – тензором механического напряжения Т_i,j или тензором деформации δ_i,j. Таким образом тензорное воздействие вызывает векторное явление (или обратно P_i~ Т_j,k)

в соответствии со схемой:

Реакция = свойство* воздействие.

Каждая компонента вектора Р связана с каждой компонентой вектора Т_i,j соотношением

P_i= d_i11Т₁₁+d_i12Т₁₂+d_i13Т₁₃+d_i21Т₂₂+d_i22Т₂₂+d_i23Т₂₃+d_i31Т₃₁+d_i32Т₃₂+d_i33Т₃₃ ,

или, компактно

P_i= d_ijkТ_jk.

Входящие сюда 27 компонентов d_ijk образуют тензор пьезоэлектрических модулей – тензор третьего ранга.

В силу симметрии d_ijk=d_ikj и число независимых компонентов модуля сокращаются до 18.

Всего выделяют четыре типа пьезомодулей:

- коэффициенты, характеризующие поляризацию, вызванную напряжением сжатия и растяжения;

- коэффициенты, характеризующие поляризацию, вызванную напряжениями сдвига. При этом каждая из этих видов поляризации возникает как в продольном (по направлению напряжения), так и в поперечном направлении.

Пьезоэффект возникает не во всех кристаллах, он наблюдается в 11 классах симметрии из 32 известных. Естественно, что количественные показатели пьезоэффекта различны при различных ориентациях пластинки, вырезанной из кристалла.

В случае прямоугольной кристаллографической системе координат, пластинки, перпендикулярно осям X,Y,Z именуются x,y,z – срезами. Множество других находящих применение ориентаций пластин для кристалла кварца представлены на рис. 15.

Рис. 15. Некоторые технические срезы кварца

Каждый срез характеризуется своей величиной пьезоэффекта, частотой колебаний и её температурным коэффициентом.

Деформации кристаллов, вызванные пьезоэлектрическим эффектом, очень малы. Например, если к пластинке x – среза кварца приложить напряжение порядка 1 кВ, продольная и поперечная деформация составит порядка 20 Ǻ, а угол между осями x и y изменяется на 0,012", причем это практически не зависит от толщины пластинки.

Однако при резонансе собственной частоты механических колебаний пластинки с частотой возбуждающего электрического поля деформация (то есть амплитуда механических колебаний пластинки) резко увеличивается и составляет мкм.

Собственная частота колебаний пьезоэлектрической пластинки зависит от вещества кристалла, кристаллографической ориентации среза, размеров и формы пластины, и также температуры.

Это свойство используется очень широко для преобразования электрических колебаний в механические и обратно, а также для стабилизации частоты в генераторах.

Важный параметр – температурный коэффициент частоты (ТКЧ):

ТКЧ=Δf/fΔt.

Некоторые срезы кварца имеют практически нулевой ТКЧ и используется для стабилизации частоты.

Пьезоэлектрические кристаллы – эффективные электромеханические преобразователи. Они используются не только в генераторах, но и в двигателях, где электрическая энергия преобразуется в механическую вследствие обратного пьезоэлектрического эффекта.

Важным для таких преобразователей является связь между механической и электрической энергией, соотношение между которыми характеризуется коэффициентом электромеханической связи К:

,

где W_мех – энергия упругих деформаций колеблющегося пьезоэлектрического кристалла,

W_эл. – электрическая энергия.

Коэффициент К не является тензорной величиной, но зависит от таковых и не одинаков для разных материалов.

Дата добавления: 2014-01-05