Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции. Преобразование Лапласа связывает функцию F(s) (изображение) комплексной переменной s с соответствующей функцией f(t) (оригиналом) действительной переменной t

Преобразование Лапласа связывает функцию F(s) (изображение) комплексной переменной s с соответствующей функцией f(t) (оригиналом) действительной переменной t. Это соответствие, по существу, взаимно однозначное для большинства практических целей. Преобразование Лапласа характерно тем, что многим соотношениям и операциям над оригиналами f(t) соответствуют более простые соотношения и операции над их изображениями F(s). Оно применяется, в частности, для решения дифференциальных и интегральных уравнений. Подход заключается в преобразовании уравнения, содержащего оригиналы f(t), в эквивалентное уравнение относительно соответствующих изображений Лапласа F(s), где s = s + j w.

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа:

- дифференцирование оригинала

- интегрирование оригинала

- линейность

- изменение масштаба

- сдвиг аргумента у оригинала

Пусть динамика системы управления описывается уравнением вида:

где y(t) - управляемый параметр, r(t) - внешнее воздействие, вызывающее реакцию системы управления. Предполагаем, что имеют место нулевые начальные условия, то есть до приложения внешнего воздействия система находится в состоянии равновесия (в установившемся состоянии). Применим к обеим частям уравнения динамики преобразование Лапласа, получим:

(ds^n +...+ d) Y (s) = (cm s^m +... +co) R (s)

Проследим связь входных и выходных величин:

Введем функцию вида

(1.6)

эта функция является передаточной. Определение ее следующее: передаточной функцией называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция элементов и систем является одной из важнейших характеристик, определяющей динамические свойства. Отметим, что для всех реальных объектов степень полинома числителя передаточной функции небольше степени полинома знаменателя. Обратный переход от изображения к оригиналу может осуществляться на основе обратного преобразования Лапласа, если оно существует. В частности, для каждого t > 0, где f(t) является функцией непрерывной, справедлива формула

где a - абсцисса абсолютной сходимости, то есть такая величина, при которой выполняется условие:

Для рациональных алгебраических функций обычно применяется разложение Хевисайда, рассмотрим его. Если учесть, что

C(s) = cm s^m+...+ c0, D(s) = dn s^n +...+ d0

представляют собой полином числителя и полином знаменателя функции W (s), и если корни полинома знаменателя не кратные, то оригинал можно представить в виде:

; (t >0);

Перейдем к рассмотрению типовых звеньев систем регулирования, то есть их математических моделей в виде простых передаточных функций.

Дата добавления: 2014-01-05