Связь между напряжением и деформацией

В пределах упругого деформирования между напряжением и относительной продольной деформацией существует прямо пропорциональная зависимость, установленная Робертом Гуком

(2.10)

Коэффициент пропорциональности Е зависит от свойств материала, является упругой его константой и называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга.

Таблица 2.3

Значения модуля упругости Е

Сталь	Е = (2,0÷2,1)10^5 МПа
Чугун	Е = (1,2÷1,6)10^5 МПа
Алюминий	Е = 0,69·10^5 МПа
Дерево вдоль волокон	Е = (0,10÷0,12)10^5 МПа
Каучук	Е = 0,00008·10^5 МПа

Закон Гука может быть записан и в форме, используемой для расчета абсолютной продольной деформации. Учитывая, что , а подставляем в соотношение (2.10) и получаем:

(2.11)

Перемещения являются следствием деформаций.

Пример 2. Определить перемещение узла В шарнирно-стержневой системы, изображенной на рис.2.6.

В силу геометрической и силовой симметрии узел В переместится вертикально вниз в положение В ₁.

На рис.2.6 изображена картина возможных перемещений всех элементов системы.

СВ − исходное положение стержня;

СВ ₁ − положение стержня после нагружения;

Δ l ₁ − изменение длины стержня 1, которое можно рассчитать, используя закон Гука

.

В силу малости упругих деформаций изменением угла α можно пренебречь. Определяем перемещение узла В исходя из геометрии картины возможных перемещений:

.

Пример 3. Определить перемещение сечений I-I и II-II ступенчатого бруса, нагруженного силой Р (рис. 2.7,а)

(а) (б) (в)

Рис 2.7

Здесь A ₁, A₂ − площади поперечного сечения соответствующих участков. Используя метод сечений, легко установить, что внутренние усилия на участках a и b равны силе P и являются растягивающими. Эпюра внутренних усилий представлена на рис.2.7,б

Перемещение в опорном сечении невозможно, то есть равно нулю. Перемещение сечения I-I зависит от деформации участка а.

Перемещение сечения II–II есть следствие деформации обоих участков:

Откладывая полученные значения перемещений в масштабе в виде отрезков перпендикулярных оси, параллельной оси бруса, соединяем концы отрезков прямыми линиями. Эпюра перемещений представлена на рис. 2.7,в.

2.5 Учёт влияния собственного веса

Влияние собственного веса оказывается существенным в элементах большой протяженности. Собственный вес – это нагрузка, распределенная по объему стержня. Интенсивность этой нагрузки – величина удельного веса .

(а) (б) (в) (г)

Рис.2.8

Внутреннее усилие в сечении, находящемся на расстоянии x от свободного конца стержня, получаем исходя из условия равновесия отсеченной части:

. (2.12)

Напряжение в сечении x равно:

, (2.13)

что указывает на линейный характер распределения напряжений вдоль оси стержня (рис.2.8,в). При х = 0 напряжение .

Величина напряжения максимальна в месте заделки при x = l:

Эпюра напряжений с учетом собственного веса представлена на рис.2.8,в.

При оценке деформаций с учетом собственного веса следует отметить, что деформации так же, как напряжения, переменны по длине стержня. Рассмотрим деформацию бесконечно малого участка длиной dx (рис.2.8,а ). В соответствии с законом Гука

.

Перемещение свободного конца δ равно удлинению стержня

.

Здесь − собственный вес стержня.

2.6 Расчёт статически неопределимых систем

В ходе предыдущих рассуждений внутренние усилия определялись методом сечений с использованием уравнений равновесия системы. Системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений статики, называют статически неопределимыми.

Решение такого рода задач требует анализа картины возможных перемещений. Рассмотрим решение статически неопределимых задач на примере.

Пример 3. Ступенчатый брус жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой P (рис.2.9,а ).

Построить эпюры внутренних усилий, напряжений и перемещений имеющих место в системе.

Прежде чем определять внутренние усилия, необходимо выявить все внешние силы, действующие в системе. Кроме активной нагрузки P, на стержень действуют две опорные реакции R _А и R _В, направленные вдоль оси стержня. Таким образом, прежде всего необходимо определить неизвестные R _А и R _В.

Для равновесия системы сил, расположенных вдоль оси стержня, необходимо и достаточно соблюдения условия:

.

(а) (б) (в) (г) (д)

Рис. 2.9

Число неизвестных – два, число уравнений статики – одно. Задача статически неопределима.

Необходимо составить еще одно дополнительное уравнение. Для этого отбросим «лишнюю» связь – опору C, заменив ее действие силой R _С (рис.2.9,б). При этом становится возможным перемещение свободного конца (рис.2.9,в):

.

Однако, по условию задачи это невозможно. Соответственно

.

Полученное уравнение называется уравнением совместности деформаций. Решая его совместно с уравнением равновесия, определяют опорные реакции. Далее определяют внутренние усилия, перемещения и отражают это построением эпюр N и δ (рис 2.9,г,д).

При проведении практических расчетов на прочность необходимо знать механические характеристики, определяющие прочностные свойства материалов и их способность к деформированию. Элементы конструкций работают в различных условиях нагружения. Следовательно, определение механических свойств материалов должно проводиться в соответствующих условиях.

Экспериментальная часть сопротивления материалов включает в себя испытания на растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб, твердость и т.д.

2.7. Испытание на растяжение.
Определение характеристик прочности

Рассмотрим испытание на растяжение пластичных и хрупких материалов, так как с помощью таких испытаний определяются наиболее важные механические характеристики материалов.

Для испытания изготавливают образцы круглого (рис. 2.10,а) или прямоугольного (рис. 2.10,б) поперечного сечения. Концевые части образцов имеют головки для закрепления в захватах испытательной машины (рис.2. 10).

Рис. 2.10

На рабочей части образца выделяется расчетная длина, которая согласована с размером диаметра образца. Обычно испытывают образцы длинные l ₀ =10d и короткие l ₀ =5d.

По результатам испытания строится диаграмма растяжения в координатах Р-∆ l, или σ – ε.

Здесь Р – растягивающее усилие.

∆ l - изменение расчетной длины,

- напряжение,

- относительная продольная деформация.

Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали представлена на рис.2.11,а. На начальном этапе деформирования (участок ОВ) зависимость между напряжением и деформацией линейна, справедлив закон Гука .

Наибольшее напряжение, до которого соблюдается закон Гука, называется пределом пропорциональности –- . На диаграмме это соответствует точке В.

( а ) ( б )

Рис. 2.11

Напряжение, соответствующее точке С, называется пределом упругости -.

Предел упругости- это наибольшее напряжение, до которого остаточная деформация не обнаруживается.

Образец, будучи разгружен по достижению предела упругости, полностью восстанавливает первоначальные размеры. Значения и близки друг к другу, и обычно различием между ними пренебрегают. При дальнейшем повышении напряжений наряду с упругой деформацией происходит накопление пластической деформации. При этом у малоуглеродистой стали деформации начинают расти практически при постоянной нагрузке. Этот эффект называют текучестью. На диаграмме наблюдается площадка текучести CD. Пределом текучести σ_т называется напряжение, при котором образец заметно деформируется без увеличения нагрузки.

Для ряда конструкционных сталей на диаграмме растяжения отсутствует площадка текучести. В таком случае вводится понятие условный предел текучести, который обозначают .

За условный предел текучести принимают наименьшее напряжение, при котором остаточная деформация составляет 0,2%.

При дальнейшем деформировании образца наступает зона упрочнения. Этому соответствует восходящий участок DK. Если разгрузить образец из любой точки , расположенной на этом участке, процесс разгрузки описывается прямой параллельной участку ОВ. При этом остаточная деформация характеризуется отрезком . При повторном нагружении (штрих пунктирная линия на диаграмме) повышается первоначальный предел пропорциональности. Явление, при котором происходит повышение упругих свойств материала в результате предварительного пластического деформирования, называется наклепом. В ряде случаев наклеп полезен и его создают искусственно.

Точка K соответствует наибольшему усилию, которое выдержал образец. В этот момент происходит потеря устойчивости равномерной пластической деформации и образуется местное сужение в виде шейки. Площадь поперечного сечения изменяется и дальнейшее деформирование происходит при падении нагрузки.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его первоначальной площади поперечного сечения называется временным сопротивлением или пределом прочности . При напряжении, соответствующем точке Т, происходит разрыв образца.

Основными характеристиками прочности материалов, используемыми в практических расчетах являются:

предел пропорциональности , (2.12)

предел упругости , (2.13)

предел текучести , (2.14)

временное сопротивление или

предел прочности . (2.15)

Для малоуглеродистой стали, имеющей площадку текучести, например, для Ст2 эти характеристики следующие:

Диаграмма растяжения хрупких материалов представлена на рис. 2.11,б. Разрыв образца происходит при незначительном удлинении и без образования шейки. Диаграмма не имеет выраженного прямолинейного участка. Однако, в связи с незначительностью отклонения от линейности, деформации на начальной стадии растяжения определяют, пользуясь законом Гука.

По результатам испытания можно определить предел упругости и предел прочности .

Дата добавления: 2014-01-05