Деформации и перемещения при изгибе

При плоском изгибе ось балки искривляется, оставаясь в плоскости нагрузки. В результате каждое сечение (центр тяжести) получает вертикальное смещение (прогиб y) и поворачивается на некоторый угол
θ = arctg y', рис. 6,17.

Рис. 6.17

Угол θ, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Учитывая, что повернувшееся сечение ортогонально изогнутой оси балки, заключаем, что вместо определения угла поворота сечения можно определить равный ему угол между касательной к изогнутой оси в данной точке и первоначальным положением балки.

Для определения деформации балки воспользуемся уравнением (6.2) для кривизны k нейтрального слоя

.

Как известно из курса высшей математики, выражение кривизны k через производные вертикального смещения имеет вид

.

Ввиду малости по сравнению с единицей, принимаем

.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

. (6.7)

Интегрируя (6.7) по z, получаем уравнение для углов поворота сечений

.

Повторное интегрирование дает уравнение изогнутой оси (прогибов)

. (6.8)

Здесь константы - прогиб и угол поворота сечения в начале координат. Они определяются из условий опирания балки (граничных условий). Для балки, заделанной одном концом, в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю на каждой из опор.

Дата добавления: 2014-01-05