Примеры моделей линейного программирования

Модели задач линейного программирования

2.1. Линейное программирование как инструмент
математического моделирования экономики

Линейное программирование традиционно считается одним из разделов исследования операций, который изучает методы нахождения условного экстремума функций многих переменных. Практика показывает, что значительное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями, а, следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.

Литература:

1. Ширяев В.И. Исследование операций и численные методы оптимизации. – М.: Издательская группа URSS, 2006.

2. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: Издательская группа URSS, 2009. – 288 с.

3. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Математические методы и модели исследования операций. – М.: Дашков и К, 2009. – 400 с.

В экономико-математических моделях линейного программирования часто в качестве оценки качества решения используются такие показатели, как: прибыль, себестоимость, объем производства.

Ниже рассмотрим несколько ситуаций, исследование которых возможно с применением средств линейного программирования.

1. Задача о раскрое материала. На обработку поступает материал одного образца в количестве единиц. Требуется изготовить из него разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам . Каждая единица материала может быть раскроена различными способами, при этом использование -го способа дает единиц -го изделия .

Требуется найти план раскроя, обеспечивающий максимальное количество комплектов .

Экономико-математическая модель этой задачи может быть сформулирована следующим образом. Обозначим число единиц материалов, раскраиваемых -м способом .

Учитывая, что общее количество материала равно сумме его единиц, раскрываемых различными способами, получим:

. (1.1)

Условие комплектности выразится уравнениями:

, . (1.2)

Очевидно, что

, . (1.3)

Целью является определить такое решение , удовлетворяющее ограничениям (1.1) – (1.3), при котором функция принимает максимальное решение.

Проиллюстрируем рассмотренную задачу следующим примером.

Для изготовления брусьев длиной 1,5 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступило 200 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Чтобы сформулировать соответствующую оптимизационную задачу линейного программирования, определим все возможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев (табл.1.1).

Обозначим через число бревен, распиленных -м способом ; число комплектов брусьев.

Таблица 1.1

Способ распила,	Число получаемых брусьев различной длины
1,5	3,0	5,0
		-	-
			-
	-		-
	-	-

С учетом того, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, оптимизационная экономико-математическая модель примет следующий вид:

при ограничениях:

,

, (1.4)

,

,

.

Дата добавления: 2014-01-05