Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим случай равновесия жидкости в состоя­нии «абсолютного покоя», т.е. когда на жидкость дейст­вует только сила тяжести. Поскольку объём жидкости в сосуде мал по сравнению с объёмом Земли, то уровень свободной поверхности жидкости в сосуде можно счи­тать горизонтальной плоскостью. Давление на свобод­ную поверхность жидкости равно атмосферному давле­нию р₀. Определим давление р в произвольно выбран­ной точке М, расположенной на глубине h. Выделим

около точки М горизонтальную площадку площадью dS. Построим на данной площадке вертикальное тело, ограниченное снизу самой площадкой, а сверху (в плоскости свобод­ной поверхности жидкости) её проекцией. Рассмотрим равновесие полученного жидкого тела. Давление на основание выделенного объёма будет внешним по отношению к жид­кому телу и будет направлено вертикально вверх. Запишем уравнение равновесия в про­екции на вертикальную ось тела.

Сократив все члены уравнения на dS, получим:

Давление во всех точках свободной поверхности одинаково и равно р₀, следова­тельно, давление во всех точках жидкости на глубине h также одинаково согласно основ­ному уравнения гидростатики. Поверхность, давление на которой одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхности уровня являются горизонтальными плоскостями.

Выберем некоторую горизонтальную плоскость сравнения, проходящую на расстоя­нии z₀ от свободной поверхности, тогда можно записать уравнение гидростатики в виде:

Все члены уравнения имеют линейную размерность и носят название:

- геометричкская высота,

- пьезометрическая высота

Величинаносит название гидростатического напора.

Основное уравнение гидростатики, доказанное на примере жидкости находящейся под действием только сил тяжести, будет справедливо и для жидкости, которое испытыва­ет на себе ускорение переносного движения. Под действием сил инерции переносного движения будет меняться положение свободной поверхности жидкости и поверхностей равного давления относительно стенок сосуда и относительно горизонтальной плоскости. Вид этих поверхностей целиком зависти от комбинации ускорений переносного движения и ускорения сил тяжести. В литературе состояние равновесия жидкости при наличии пе­реносного движения называется относительным покоем жидкости. Любые комбинации ускорений сводятся к двум возможным видам равновесия жидкости

Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинейном движении со­суда. Примером может быть равновесие жидкости в цистерне, движущейся с неко­торым ускорением а. В этом случае на жидкость будут действовать силы тяжести и сила инерции равномерно укоренного движения цистерны. Тогда равно-

действующая единичная массовая сила определиться как сумма векторов ускорения пере­носного движения и ускорения свободного падения.

При данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения а бу­дет направлен в сторону противоположную движению цистерны, ускорение свободного падения g, как всегда ориентировано вертикально вниз, т.е. как показано на рисунке. При движении цистерны начальное положение свободной поверхности жидкости изменится. Новое положение свободной поверхности жидкости, согласно основному условию равно­весия жидкости будет направлена перпендикулярно вектору, т.к., равнодействующий вектор массовых сил должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверх­ности жидкости. Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости определяется соотношением ускорений

Выберем некоторую точку М расположенную внутри жидкости на глубинепод уровнем свободной поверхности (расстояние до свободной поверхности жидкости изме­ряется по нормали к этой поверхности). В точке М выделим малую площадку парал­лельную свободной поверхности жидкости. Тогда уравнение равновесия жидкости запи­шется в следующем виде:

Величинузаменим эквивалентной величиной, где h -погружение точки М под уровень свободной поверхности жидкости (измеряется по вертикали). Эти две величины

одинаковы, т.к. . После этих преобразований уравнение равновесия

жидкости в цистерне примет привычный вид, соответствующий записи основного закона гидростатики:

Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от положе­ния этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости. Поверхности рав­ного давления будут параллельны свободной поверхности жидкости, и иметь такой же ук­лон

Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде. Свободная поверхность жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил тяжести примет форму горизонтальной плоскости на некотором уровнеотносительно дна сосу­да. После того как мы приведём сосуд во вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой скоростью со = const, начальный уровень свободной по­верхности жидкости изменится: в центре сосуда он пони­зится, а по краям сосуда повысится. При этом форма сво­бодной поверхности примет явно вид криволинейной по­верхности вращения. Это явление объясняется тем, что при вращении сосуда вокруг своей оси жидкость в нём бу­дет испытывать ускорение переносного движениянаправленное в сторону стенок сосуда. Поскольку равнодействующая двух сил: силы тя­жести и центробежной силы должна быть направлена по нормали к свободной поверхно­сти жидкости в каждой точке поверхности, то эта равнодействующая будет иметь, как быль сказано выше, две составляющие соответственно силу тяжести, направленную вер­тикально вниз и центробежную, направленную в горизонтальной плоскости.

В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.

Отсюда:

В центре на оси вращения, на расстоянии от дна сосуда будет расположена

самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.

Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения (кривая АОВ- парабола).

Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в част­ности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:

Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда, на­клоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же, что подтвер­ждает универсальность формулы основного урав­нения гидростатики.

2.4. Дифференциальное уравнение равнове­сия жидкости

После рассмотрения некоторых частных слу­чаев равновесия жидкости рассмотрим общее диф­ференциальное равновесия в самом общем виде. Для этой цели выделим отсек жидкости малых раз­меров в виде параллелепипеда. Масса жидкости в выделенном объёме:

На боковые грани параллелепипеда действуют силы давления: (на левую и правую грани соответственно):. На переднюю и заднюю грани: , на нижнюю

и верхнюю грани:

Поскольку давление на правую грань больше, то i

По аналогии можно записать силы давления на остальные пары граней.

на переднюю , на заднюю , на нижнюю

, на верхнююПроекции массовых сил на координатные оси:

на ось ОХ будет на ось ОУ будет

на ось OZ будетТогда сумма сил действующих вдоль оси ОХ:

сумма сил действующих вдоль оси 07:

сумма сил действующих вдоль оси OZ:

где:, проекции ускорения массовых сил на координатные оси.

После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости:

i i >

2.5. Сообщающиеся сосуды

В своей практической деятельности человек часто сталкивается с вопросами равно­весия жидкости в сообщающихся сосудах, когда два сосуда А и В соединены между со­бой жёстко или гибким шлангом. Сами сосуды (А и В) обычно называются коленами. Такой гидравлический элемент часто используется в различных гидравличе­ских машинах (гидравлические прессы и др.), системах гидропривода и гидроавтоматики, различных измери­тельных приборах и в ряде других случаев. С природ­ными сообщающимися сосудами человек встречается с давних пор: сообщающимися сосудами больших раз­меров являются водонасыщенные пласты горных пород с системой колодцев, играющих роль отдельных колен природной гидродинамической системы.

В открытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью свобод­ный уровень жидкости устанавливается на одном и том же уровне в обоих коленах. Если в коленах сосудов залиты две несмешивающиеся жидкости с различной плотностью, то свободные уровни жидкости в правом и левом коленах устанавливаются на разных высо­тах в зависимости от соотношения плотностей жидкостей.

Для типичного случая, изображённого на рисунке, запишем уравнение равновесия жидкости относительно уровня раздела жидкостей.

или:

В закрытых сообщающихся сосудах давления на свободную поверхность могут быть шными, тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:

2.6. Сила давления жидкости па плоскую поверхность, погружённую в жид­кость

Согласно основному закону гидростатики величина давления р определяется глу­биной погружения точки под уровень свободной поверхности h жидкости и величиной

плотности жидкости р.

Для горизонтальной поверхности величина давления одинакова во всех точках этой поверхно­сти, т.к.:

Отсюда:

Таким образом, Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность (дно сосу­да) равно произведению площади этой поверхности на величину давления на глубине по­гружения этой поверхности. На рисунке показан так называемый «гидравлический пара­докс», здесь величины силы давления на дно всех сосудов одинаковы, независимо от формы стенок сосудов и их физической высоты, т.к. площади доньев у всех сосудов оди­наковы, одинаковы и величины давлений.

Сила давления на наклонную поверхность, погруженную в жидкость. Практическим примером такой поверхности может служить наклонная стенка сосуда. Для вывода урав-

нения и вычисления силы давления на стенку выберем следующую систему координат: ось ОХ направим вдоль пересечения плоскости свободной поверхности жидкости с на­клонной стенкой, а ось OZ направим вдоль этой стенки перпендикулярно оси ОХ. Тогда в качестве координатной плоскости XOZ будет выступать сама наклонная стенка. На плос­кости стенки выделим малую площадку, которую, в связи с малыми размерами можем считать горизонтальной. Величина давления на глубине площадки будет равна:

где: h - глубина погружения площадки относительно свободной поверхности жидкости (по вертика­ли).

Силадавления dP на площадку:

Для определения силы давления

на всю смоченную часть наклонной стенки (часть площади стенки сосуда, расположенная ниже уровня свободной поверхности жидкости) необходимо проинтегрировать это урав­нение по всей смоченной части площади стенки S.

Интегралпредставляет собой статический момент площади S относительно

оси ОХ. Он, как известно, равен произведению этой площади на координату её центра тяжести z_c. Тогда окончательно:

Таким образом, сила давления на наклонную плоскую поверхность, погружённую в жидкость равна смоченной площади этой поверхности на величину давления в центре тя­жести этой площади. Сила давления на плоскую стенку кроме величины и направления характеризуется также и точкой приложения этой силы, которая называется центром дав­ления.

Центр давления силы атмосферного давления p₀S будет находиться в центре тяже­сти площадки, поскольку атмосферное давление передаётся на все точки жидкости одина­ково. Центр давления самой жидкости на площадку можно определить исходя из теоремы о моменте равнодействующей силы. Согласно этой теореме момент равнодействующей

силы относительно оси ОХ будет равен сумме моментов составляющих сил относительно этой же оси.

откуда:

где:- положение центра избыточного давления на вертикальной оси,

- момент инерции площадки S относительно оси ОХ.

Отсюда центр давления (точка приложения равнодействующей силы избыточного давления) расположен всегда ниже центра тяжести площадки. В сучаях, когда внешнней действующей силой на свободную поверхность жидкости является сила атмосферного давления, то на стенку сосуда будут одновременно действовать две одинаковые по вели­чине и противоположные по направлению силы обусловленные атмосферным давлением (на внутреннюю и внешнюю стороны стенки). По этой причине реальной действующей несбалансированной силой остаётся сила избыточного давления.

2.7. Сила давления на криволинейную поверхность, погружённую в жидкость Выберем внутри покоящейся жидкости криволинейную поверхность ABCD, которая может быть частью поверхности некоторого тела погруженного в жидкость. Построим проекции этой поверхности на координатные плоскости. Тогда в координатной плоскости XOZ проекцией этой поверхности будет плоская поверхность , в координатной

плоскости YOZ — плоская поверхностьи в плоскости свободной поверхности

жидкости (координатная плоскость ХОТ) - плоская поверхность . На криволи-

нейной поверхности выделим малую площадку dS, проекции которой на координатные

плоскости будут соответственно . Сила давления на криво­линейную поверхность dP будет направ­лена по внутренней нормали к этой по­верхности и может быть представлена в виде:

Горизонтальные составляющие мо­гут быть определены, как силы давления

'' - на проекциималой площадки dS на соот-

ветствующие координатные плоскости:

Интегрируя эти уравнения, получим (как в случае с давлением на наклонную по­верхность):

Вертикальная составляющая силы давления:

^

Второй интеграл в этом равенстве представляет собой объём образованный рассмат­риваемой криволинейной поверхностью ABCD и её проекцией на свободную поверхность жидкости. Этот объём принято называть телом давления

Таким образом, горизонтальные составляющие силы давления на криволинейную поверхность равны давлениям на вертикальные проекции этой поверхности, а вертикаль­ная составляющая равна весу тела давления, и силе внешнего давления на горизонтальную проекцию криволинейной поверхности.

Основные уравнения гидростатики широко используются на практике. Примероми могут служить простейшие гидравлические машины - гидравлический пресс, построен­ный по принципу сообщающихся сосудов и гидравлический аккумулятор.

Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров приводного (1) и рабочего (2) со-

единеных между собой трубо­проводом и представляет систе­му сообщающихся сосудов. В приводном цилиндре перемеща­ется плунжер малого диаметра d, в рабочем цилиндре находит­ся поршень с большим диамет­ром D. Связь между плунжером и рабочим поршнем осуществ­ляется через рабочую жидкость, заполняющую гидравлическую систему (сообщающиеся сосуды). Усилие F через рычаг передаются рабочей жидкости.

Сила давления на жидкость под плунжером Р_] передаёт жидкости давление р, которое, в свою очередь, передаётся во все точки рабочего поршня.

Тогда сила давления на поверхность рабочего поршеня будет равна'

Таким образом, с помощью гидравлического пресса, приложенная к концу рычага

^ сила, увеличивается враз.

2.8. Равновесие твёрдого тела в жидкости

Определим силу давления на твёрдое тело, погружённое в жидкость. На замкнутую криволинейную поверхность, являющуюся поверхностью твердого тела погружённого в

жидкость будут действовать массо­вые силы (в данном случае силы тя­жести) и поверхностные, силы дав­ления на поверхность тела. Рассмот­рим действие сил давления. Как из­вестно, горизонтальные составляю­щие силы давления будут взаимно уравновешены. Так как проекции тела на координатную плоскость XOZ с его левой и правой сторон совпадут; то совпадут и координаты центров тяжести этих проекций. То­гда проекции сил давления на ось

ОХ будут одинаковыми по величине, но противоположными по направлениюАналогично можно записать и для проекций сил давления на ось OY (давление на проек­ции поверхностей в координатной плоскости YOZ),. Неуравновешенными будут

лишь вертикальные составляющие силы давления, действующие на верхнюю и нижнюю стороны поверхности тела.

Вертикальными сечениями выделим на верхней и нижней половинах тела малые площадки. Тогда вертикальные составляющие на верхнюю и нижнюю площадки будут равны:

После интегрирования по объёму тела найдём равнодействующую сил давления. Она окажется равной разности весов двух тел давления, ограниченных свободной поверхно­стью жидкости и верхней и нижней поверхностями тела.

Равнодействующая сил давления носит название выталкивающей силы, эта сила на­правлена вертикально вверх и численно равна весу жидкости в объёме вытесненной те­лом. Последнее положение получило название закона Архимеда. Закон Архимеда часто формулируют несколько иначе: «тело, погружнное в жидкость теряет в своём весе столько сколько весит вытесненная им жидкость».

Таким образом, На погружённое в жидкость тело действуют две силы:

вес телаи выталкивающая сила

ЕслиТело будет тонуть.

ЕслиТело будет всплывать до тех пор пока вес тела и величина

выталкивающей силы, действующей на погруженную часть объёма тела не уравновесятся.

ЕслиТело будет находиться во взвешенном состоянии в жидкости,

т.е. плавать внутри жидкости на любой заданной глубине.

Для тела плавающего на поверхности жидкости должно, таким образом выполняться условие:

Другими словами, степень погружения плавающего на поверхности тела под уровень жидкости заваисит от со­отношения плотности телаи жидкости:

Если тело однородное, то точка приложения силы тяжести тела и точка приложения выталкивающей силы совпадают. В тех случаях, когда плавающее на поверхности жидко­сти тело не однородно по своему составу (корабль с грузом) в условиях равновесия точки приложения действующих на тело сил располагаются в разных местах на прямой верти­кальной линии. В таких случаях на плавающее в жидкости тело действует пара сил, от

действия которой зависит положение тела относительно жидкости Такие плавающие тела могут находиться в ос­тойчивом и не остойчивом состоянии Так тело 1 под дей­ствием пары сил находится в состоянии равновесия На тело 2 действует пара сил, стремящаяся уменьшить угол крена (угол между осью плавания тела и плоскостью сво­бодной поверхности жидкости) Такое положение пла­вающего тела называется остойчивым На тело 3 действует пара сил, стремящаяся увели­чить угол крена (перевернуть тело), такое положение тела называется не остойчивым по­ложением

; t* 3. Элементы кинематики жидкости

Кинематикой называют раздел механики, изучающий движение физических тел во­обще, вне связи с источником движения (силами). Это определение справедливо и для ки­нематики жидкости как отдельного раздела гидравлики. 3.1. Методы изучения движения жидкости.

Жидкость представляет собой физическое тело, состоящее из бесконечно большого числа бесконечно малых частиц. С большой степенью точности мы можем рассматривать жидкое тело как сплошную среду, эта модель позволяет значительно упростить решение большинства гидравлических задач. Тем не менее, нередки случаи, когда уровень иссле­дования движения жидкого тела требует глубокого знания физических процессов проис­ходящих в движущейся жидкости на молекулярном уровне. В таких случаях вполне удоб­ная модель сплошной среды может оказаться неприемлемой.

Исходя из практики изучения гидравлики как прикладной дисциплины, можно упо­мянуть два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Описание движения жидкости методом Лагранжа сво­дится к рассмотрению положения частиц жидкости (в пол­ном смысле слова) в любой момент времени. Так в началь­ный момент времени частицы находились в точках 1, 2, 3 и 4. По истечении некоторого времени они переместились в точки: Г, 2',3'и4', причём это перемещение сопровожда­лось изменением объёмов и форм частиц (упругой деформа­цией). Тогда можно утверждать, что частицы жидкости при своём движении участвуют в трёх видах движения (поступа­тельном, вращательном и деформации). Для описания такого сложного движения жидко­сти необходимо, таким образом, определить как траектории частиц, так и гидравлические характеристики частиц (плотность р, температуру Т и скорость и) в функции времени и координат.

Переменные а, Ь, с, и / носят название переменных Лагранжа. Задача сводится к ре­шению систем дифференциальных уравнений в частных производных для каждой части-

цы жидкости. Метод Лагранжа ввиду громоздкости и трудности решения может исполь­зоваться в случаях детального изучения поведения лишь отдельных частиц жидкости. Ис­пользование этого метода для инженерных расчётов не рентабельно.

Суть другого метода, метода Эйлера заключается в том, что движение жидкости подменяется изменением поля скоростей. Под полем скоростей понимают некоторую дос­таточно большую совокупность точек бесконечного пространства занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в каждый момент времени находится час­тица жидкости с определённой скоростью (вектором скорости). Припишем неподвижным точкам пространства скорость частиц жидкости, которые в данный момент времени нахо­дятся в этих точках. Поскольку пространство бесконечно и непрерывно, то мы имеем мас­сив данных о скоростях достаточно полный, чтобы определить (задать) поле в каждой его точке. Условно, нос достаточной точностью такое поле можно считать непрерывным.

Несмотря на то, что исходные условия создания модели движущийся жидкости до­вольно сложные, тем не менее, метод Эйлера весьма удобен для расчётов.

Построение поля скоростей осуществляет­ся следующим образом:

На некоторый момент времени (например, to) произвольным образом выберем необходимое число точек, в которых находятся частицы жид­кости. Приписав их скорости точкам неподвижного про­странства (1, 2, 3, 4, 5 и 6) мы сделаем «момен­тальную фотографию» поля скоростей на вы­бранный момент времени. В следующий момент времени в тех же выбранных точках

неподвижного пространства будут находиться другие частицы жидкости, имеющие другие ско­рости . Выполнив уже

известную процедуру второй раз, получим но­вую «моментальную фотографию» поля скоро­стей на момент времени. Теперь вместо изучения траекторий частиц жидкости

будем сравнивать поля скоростей. Тогда система уравнений примет вид:

Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по аналогии с электромагнитным, тепловым и др. полями. Это определение не противоречит физической стороне процесса движения жидкости. Анализируя состояние гидродинами­ческого поля на разные моменты времени, можно отметить, что с течени­ем времени поле изменилось, несмотря на то, что в отдельных точках 5 и 6 скорости оста­лись постояннымиТакое поле называют нестационарным гидродина­мическим полем. В частном случае, когда во всех точках неподвижного пространства с течением времени предыдущие частицы жидкости сменяются другими с такими же скоро­стями, то поле скоростей во времени не меняется. Такое гидродинамическое поле называ­ют стационарным. В соответствии с этим различают и два вида движения жидкости: уста­новившееся, когда поле скоростей является стационарным и неустановившееся при неста­ционарном гидродинамическом поле.

Дата добавления: 2014-01-05