Численное обращение матриц методом окаймления

Метод обеспечения сходимости метода Зейделя.

то две СЛАУ равносильны

тогда

Выбор H, чтобы все |l| < 1 у HA

Итерационный процесс:

1)

2) Если 1) не дало результата (процесс не стал сходиться).

Ищем блоки 2*2, если их нечётное количество, то останется 1 блок 1*1=a_nn

3) и т. д.

А:

На k-ом шаге находится обратная матрица углового минора k´k, при этом известна обратная матрица для предыдущего углового минора (k-1)´(k-1).

Будем искать А_k^-1 в виде (матрица):

P_k-1 r_k

q_k 1/b_k

А_k*A_k^-1 = E = [A_k-1 U_k; V_k a_k]*[ P_k-1 q_k; r_k 1/b_k] =

[A_k-1*P_k-1+U_k*q_k A_k-1*r_k+U_k*1/b_k; V_k*P_k-1+a_k*q_k V_k*r_k+a_k*1/b_k] =

= [E_k-1 0; 0 1]

(1) A_k-1*P_k-1+U_k*q_k = E;

(2) A_k-1*r_k+U_k*1/b_k = 0;

(3) V_k*P_k-1+a_k*q_k = 0^T;

(4) V_k*r_k+a_k*1/b_k = 1;

Следовательно:

r_k = -А_k-1^-1 * U_k/b_k; (5)

Где А_k-1^-1 известна на предыдущем шаге.

Подставим (5) в (4):

V_k*(-А_k-1^-1*U_k/b_k) + a_k/b_k = 1; Þ b_k = a_k - V_k*А_k-1^-1*U_k;

Подставим в (5):

r_k = -А_k-1^-1 * U_k/b_k;

Выразим из (1) P_k-1­ и подставим в (3):

q_k = -V_k*А_k^-1/b_k;

P_k-1­ = А_k-1^-1 + (А_k-1*U_k*V_k А_k-1^-1)/b_k.

Дата добавления: 2014-01-05