Теорема линейных цепей

ЛЕКЦИЯ №5.

I. Теорема компенсации.

В электрической цепи любой пассивный элемент можно заменить эквивалентным источником напряжения, э.д.с. которого равна падению напряжения на данном элементе E=U=IR и направлена навстречу ему.

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что любое из слагающих падения напряжений, входящих в уравнения по второму закону Кирхгофа может быть перенесено в другую сторону уравнения с противоположным знаком, т.е. может рассматриваться как дополнительная э.д.с., направленная навстречу току.

Рис.31. Служит иллюстрацией к доказательству теоремы компенсации.

Рис. 31. Иллюстрация к теореме компенсации.

Если в ветвь ''ab'' рис.31,а последовательно включить две равные, но противоположно направленные э.д.с. E^/=E^//=IR, то точки ''a'' и ''d'', ''c'' и ''b'' оказываются соответственно точками одинакового потенциала:

Таким образом, закоротив точки ''a'' и ''d'' и исключив, получим этот участок из ветви «ab», получим схему рис. 31,в. Ток ветви при этом не изменится.

II. Теорема взаимности (обратимости).

Если источник э.д.с. k- ой ветви E_k вызывает в ветви «n» ток I_n, то этот же источник э.д.с., будучи включенным в ветвь «n» вызовет в ветви «k» тот же ток I_k=I_n.

Рис.32. Иллюстрация к теореме взаимности.

I_n=E_kq_kn, I_k=E_nq_nk (41)

Эти выражения вытекают из формулы 27,в.

Т.к. q_kn=q_nk и E_k=E_n, то I_n=I_k.

Все пассивные линейные электрические цепи обладают свойствами взаимности (обратимости).

Электрические цепи, для которых выполняется условие q_kn=q_nk называются обратимыми цепями.

Использование метода обратимости пассивных линейных электрических цепей в ряде случаев упрощает расчеты.

Пример.

Определить величину и направление тока I₄ в цепи, воспользовавшись для расчета цепи теоремой взаимности. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

E₁=10B; R₁=4Ом; R₂=6Ом; R₃=4Ом; R₄=1,8Ом; R₅=1Ом.

Решение:

Использование теоремы взаимности позволяет преобразовать сложную исходную цепь рис.1 в простую рис.2.

Простой цепь оказалась потому, что узлы «d» и «b» после переноса источника в ветвь c-d, связанные между собой проводом без сопротивления, слились в один узел. Следовательно, сопротивления R₁ и R₂ соединены параллельно. Так же параллельно соединены сопротивления R₃ и R₅.

На рис.3 эта же цепь изображена наглядно:

Эквивалентное сопротивление:

Ток

Токи I₁^/ и I₅^/ найдем по правилу плеч:

Ток

Но ток I^/ в схеме рис.2 после переноса источника в четвертую ветвь, согласно теореме взаимности, должен быть равен току I₄ в схеме рис.1 до переноса этого источника:

I₄=I^/=0,4(A)

Следует обратить внимание на то, что направление э.д.с. на рис.2 выбрано совпадающим с положительным направлением тока этой ветви до переноса э.д.с. При этом положительное направление тока I^/ на рис.2 должно совпадать с направлением э.д.с. в этой ветви до переноса источника.

*Метод взаимности основан на теореме взаимности.

III. Теорема об эквивалентном источнике.

С помощью этой теоремы сложная электрическая схема с произвольным числом источников электрической энергии приводится к схеме с одним источником. Благодаря этому расчет электрической цепи упрощается.

Существует два варианта теоремы об эквивалентном источнике: вариант с источником напряжения и вариант с источником тока.

Теорема об эквивалентном источнике напряжения.

По отношению к зажимам произвольно выбранной ветви оставшаяся активная часть цепи (активный двухполюсник) может быть заменена эквивалентным генератором. Параметры генератора: его э.д.с. E_экв. Равна напряжению на зажимах выделенной ветви при условии, что эта ветвь разомкнута, т.е. E_экв.=U_xx; его внутренне сопротивление r₀ равно эквивалентному сопротивлению пассивной электрической цепи со стороны зажимов выделенной ветви.

Рис.33. Иллюстрация к теореме об эквивалентном

источнике напряжения.

Эквивалентная схема – схема Гемгольца-Тевенина.

Данная теорема доказывается следующим образом: в ветвь ab две одинаковые по величине и противоположно направленные э.д.с. E₁=E₂ при условии, что они равны напряжению холостого хода между зажимами a-b: E₁=E₂=U_xx.

В соответствии с принципом наложения определяем ток I_k как сумму двух токов: I_k, возникающего под действием э.д.с. E₁ и всех источников оставшейся части схемы, и тока I_k^//, возникающего от независимого действия источника E₂.

Ток I_k^/=0, т.к. E₁=U_xx

Ток I_k^/=I_k в эквивалентной схеме, называемой схемой Гемгольца-Тевенина равен

(42)

где r₀- эквивалентное сопротивление всей пассивной цепи П.

Дата добавления: 2014-01-05