Вычисление основных параметров денежных потоков

Несмотря на то, что общее количество формул, приведенных в трех предыдущих главах, уже приблизилось к сотне, можно смело утверждать, что это лишь малая часть того, что име­ется в арсенале финансовых вычислений. Бувально по каждому из рассмотренных способов ос­талась масса незатронутых вопросов: ренты пренумерандо, переменные денежные потоки, ис­пользование простых процентов в анализе рент и так далее почти до бесконечности. Тем не ме­нее, усвоив базовые понятия финансовых расчетов, можно заметить, что все дальнейшие рас­суждения строятся по довольно универсальному алгоритму. Определяется математическая при­рода понятия и основные ограничения, накладываемые на него при практическом использова­нии. Например, сложные проценты наращиваются в геометрической прогрессии. Они приме­няются по большей части в расчетах по долгосрочным финансовым операциям. Затем нахо­дится решение основных задач, связанных с данным понятием – начисление и дисконтирование по сложным процентным и учетным ставкам. После этого разрабатывается методика расчета остальных параметров уравнений, описывающих данное понятие, и решается проблема нахож­дения эквивалентных значений отдельных параметров. При этом основным методом решения задач является преобразование или приравнивание друг к другу множителей наращения (дис­контирования) различных показателей. Поняв эти закономерности, можно отказаться от заучи­вания всех возможных формул и попытаться применить данную методику для решения кон­кретных финансовых задач, держа при этом в памяти лишь полтора-два десятка основополагающих выражений (например, формулы расчета декурсивных и антисипативных процентов и т.п.).

Используем данный алгоритм для финансового анализа денежных потоков, в частности, для расчета отдельных параметров финансовых рент. Например, предприятию через три года предстоит погасить задолженность по облигационному займу в сумме 10 млн. рублей. Для этого оно формирует погасительный фонд путем ежемесячного размещения денежных средств на банковский депозит под 15% годовых сложных процентов с начислением 1 раз в год. Чему должна быть равна величина одного взноса на депозит, чтобы к концу третьего года в погаси­тельном фонде вместе с начисленными процентами накопилось 10 млн. рублей?

Планируемые предприятием взносы представляют собой трехлетнюю p-срочную ренту, p = 12, m = 1, будущая стоимость которой должна быть равна 10 млн. рублей. Неизвестным явля­ется ее единственный параметр – член ренты R. В качестве базовой используем формулу (6) из табл. 3.3.3. Данное уравнение следует решить относительно R / 12 (так как планируются ежемесячные взносы) Обозначим r = R / 12. Преобразовав базовую формулу, получим

То есть, размер ежемесячного взноса должен составить примерно 225 тыс. рублей (более точная цифра 224,908).

Размер долга по займу (10 млн. рублей) был задан как условие предыдущего примера. На самом деле, часто данный параметр также является вычисляемой величиной, т.к. наряду с ос­новной суммой займа должник обязан выплачивать проценты по нему. Предположим, что 10 млн. рублей – это основная задолженность по облигационному займу, кроме этого необходимо ежегодно выплачивать кредиторам 10% основной суммы в виде процентов. Чему будет равна сумма ежемесячного взноса в погасительный фонд с учетом процентных выплат по займу? Так как проценты должны выплачиваться ежегодно и их годовая сумма составит 1 млн. рублей (10 млн. рублей * 10%), нам опять следует рассчитать член ренты r (R / 12) по ренте сроком n = 1 год, p = 12, m =1, i = 15%. По базовой формуле (6) его величина составит:

Ежемесячно в погасительный фонд будет необходимо вносить около 78 тыс. рублей (бо­лее точ­ная цифра 78,0992) для ежегодной выплаты процентов в сумме 1 млн. рублей. Таким об­разом общая сумма ежемесячных взносов в погасительный фонд составит 303 тыс. рублей (225 + 78).

Условиями займа может быть предусмотрено присоединение суммы начисленных за год процентов к основному долгу и погашение в конце срока наращенной величины займа. То есть в конце срока эмитенту займа придется возвратить 13 млн. 310 тыс. рублей (10 * (1 + 0,1)³). Ве­личину ежемесячного взноса в погасительный фонд найдем, используя все ту же базисную формулу (6):

То есть ежемесячно необходимо вносить на банковский депозит около 300 тыс. рублей более точно – 299,35).

Аналогичный подход может быть применен к формированию амортизационного фонда. Известно, что амортизация основных фондов – важнейшая составная часть чистого денежного потока предприятия, остающаяся в его распоряжении. В каждом рубле получаемой предпри­ятием выручки содержится доля амортизационных отчислений. Поэтому нет ничего противоес­тественного в том, чтобы предприятие, «расщепляя» поступающую выручку, перечисляло на банковский депозит сумму амортизации по каждому платежу от покупателя. В этом случае на­ко­пление амортизационного фонда происходило бы значительно быстрее за счет начисления про­центов. Предположим, что по основным фондам первоначальной стоимостью 50 млн. руб­лей предприятие начисляет амортизацию по годовой ставке 12,5% (линейный метод). Срок службы оборудования 8 лет. Ежегодно начисляется 6,25 млн. рублей амортизационных отчис­лений. Но если предприятие располагает возможностью размещения денежных средств хотя бы под 10% годовых, то для накопления 50 млн. рублей в течение 8 лет ему понадобится ежегодно разме­щать на депозите лишь по 4, 37 млн. рублей: преобразовав формулу (2) из предыдущей главы, получим:

Если же взносы на депозит производить ежемесячно (p = 12), то, снова применяя формулу (6), и деля полученный результат на 12, найдем:

Ежемесячный взнос на депозит должен составить около 350 тыс. рублей (более точно – 348,65). При этом ежемесячные амортизационные отчисления по линейному методу составят 520,8 тыс. рублей (6,25 / 12). Задачу можно сформулировать иначе: за сколько лет предприятие возместит первоначальную стоимость основных средств, размещая на депозите сумму амортизационных отчислений по линейному методу (520,8 тыс. рублей в месяц или 6,25 млн. рублей в год). Для решения этой задачи (нахождение срока ренты n) снова понадобится формула (6), но теперь она будет преобразована следующим образом:

Полученное дробное число лет в соответствии с правилами выполнения финансовых расчетов должно быть округлено до ближайшего целого. Однако, при p > 1, округляется произведение np, в нашем случае оно составляет 71,52 (5,96 * 12). Округлив его до 71 и разделив на 12, полу­чим n = 5,92 года. При любых способах округления, полученное значение на 2 года меньше, чем срок амортизации основных фондов по линейному методу. То есть предприятие таким спосо­бом может накопить сумму для замены изношеного оборудования на 2 года быстрее.

Необходимость выплачивать проценты кредитору на остаток банковской ссуды или ком­мерческого кредита ставит перед предприятиями задачу разработки оптимального плана пога­шения долга. Дело в том, что оставляя неизменной сумму основной задолженности в течение всего срока займа, предприятие будет вынуждено выплатить максимально возможную сумму процентов по этому займу. Если же оно периодически будет направлять часть средств на пога­шение основного долга, то сможет сэкономить на процентах, которые начисляются на остаток задолженности. Возможны различные стратегии амортизации займов. Например, предприятие может периодически уплачивать фиксированную сумму в погашение основной задолженности. Тогда в каждом новом периоде ему понадобится меньше денег на оплату процентов, то есть общие расходы по обслуживанию долга за период (срочная уплата) будут снижаться. Погашая ежегодно 2 млн. рублей из общей суммы 3-летнего займа 6 млн. руб­лей, выданного под 20 про­цента годовых, предприятие в 1-й год выплатит 1200 тыс. рублей про­центов (6000 * 0,2). Сроч­ная уплата за этот период составит 3200 тыс. рублей (2000 + 1200). За вто­рой год проценты со­ставят уже 800 тыс. рублей (4000 * 0,2), срочная уплата – 2800 тыс. руб­лей (2000 + 800) и т.д. Сумма выплачиваемых процентов будет снижаться в арифметической про­грессии с первым членом 1200 тыс. рублей (p*i) и разностью -400 тыс. рублей ­(-p * i / n), n означает число членов прогрессии, в данном примере оно равно 3. Сумма этой прогрессии будет равна 2400 тыс. руб­лей (3 * 1200 – 2 * 3 * 400 / 2)[1], а это значительно меньше суммы процентов, которую пришлось бы уплатить предприятию в случае единовременного погашения основного долга в конце срока ссуды – 4368тыс. рублей (6000 * (1 + 0,2)³ - 6000).

Возможен другой вариант, когда величина срочной уплаты на протяжении всего срока займа остается неизменной, но постепенно меняется ее структура – уменьшается доля, идущая на погашение процентов и увеличивается доля, направляемая в уплату по основному долгу. В этом случае сначала необходимо определить размер срочной уплаты, которая рассчитывается как величина члена ренты, текущая стоимость которой равна первоначальной сумме долга при дисконтировании по процентной ставке, установленной по займу. Преобразовав формулу при­ведения аннуитета (4) из предыдущей главы, найдем значение R:

Для полного погашения задолженности по ссуде понадобится произвести 3 погасительных пла­тежа по 2848 тыс. рублей каждый. Не вдаваясь в подробности расчета структуры срочной уп­латы по каждому году, отметим, что в сумме предприятию придется заплатить по займу 8544 тыс. рублей, т.е. общая сумма процентов составит 2544 тыс. рублей (8544 – 6000), что заметно выше, чем по первому варианту.

Сопоставление различных вариантов погашения займа только по критерию общей вели­чины выплаченных процентов, не вполне корректно – сравниваются различные денежные по­токи, для которых кроме абсолютных сумм имеет значение, в каком конкретно периоде вре­мени деньги были уплачены или получены. Рассмотрим подробнее, что из себя представляет каждый из этих потоков (табл. 2.4.1). Вследствие действия принципа временной ценности денег сложение членов этих потоков явля­ется бессмысленной операцией – платежи, производимые с интервалом 1 год, несопоставимы. Поэтому в стр. 5 табл. 2.4.1 рассчитана дисконтированная по ставке 20% величина каждого из потоков. Так как в последней графе этой таблицы представлен аннуитет, то его расчет произве­ден по формуле (4) из предыдущего параграфа. Два остальных потока состоят из неравных членов, их дисконтирование произведено по общей формуле (3). Как видно из результатов расчетов, наибольшую отрицательную величину (-6472,2) имеет приведенная сумма платежей по первому потоку, она даже превышает сумму полученного зацма. То есть, погашая долг на таких усло­виях, предприятие реально несет финансовые потери. Два последних варианта не ухудшают финансового положения предприятия.

Таблица 2.4.1

Сравнение вариантов выплаты займа

Члены потока	Варианты погашения займа, тыс. руб.
возврат основного долга в конце срока	фиксированная выплата основного долга	фиксированная срочная уплата
1. Получение займа	+6000	+6000	+6000
2. Платеж в конце 1 года	-1200	-3200	-2848,4
3. Платеж в конце 2 года	-1440	-2800	-2848,4
4. Платеж в конце 3 года	-7728	-2400	-2848,4
5. Приведенная к мо­менту получения займа сумма выплат	-6472,2	-6000	-6000

Сравнивая между собой приведенные величины денежных притоков и оттоков по финан­совой операции, определяют важнейший финансовый показатель чистая приведенная стои­мость (NPV – от английского net present value). Наиболее общая формула определения этого показателя:

, (1)

где I₀ – первоначальные инвестиции в проект (оттоки денег),

PV – приведенная стоимость будущих денежных потоков по проекту.

При использовании этой формулы все денежные притоки (доходы) обозначаются положитель­ными цифрами, оттоки денежных средств (инвестиции, затраты) – отрицательными.

В нашем примере первоначально предприятие получало приток денежных средств (сумма займа 6 млн. рублей), а затем в течение 3 лет производило денежные расходы, т.е. оттоки средств. Поэтому к первоначальному моменту приводились не поступления, а затраты. Обычно при реализации ин­вестиционных проектов наблюдается обратная картина: сначала предприятие вкладывает сред­ства, а затем получает периодические доходы от этих вложений. Поэтому, преобразуя (1) с уче­том правил дисконтирования денежных потоков (формула (4) из предыдущей главы), получаем:

, (2)

где n – общий срок финансовой операции (проекта),

R_k – элемент дисконтируемого денежного потока (член ренты) в периоде k,

k – номер периода.

Под процентной ставкой i (в данном случае ее называют ставкой сравнения) понимается годо­вая сложная эффективная ставка декурсивных процентов. Срок операции n в общем случае из­меряется в годах. Если же реальная операция не отвечает этим условиям, т.е. интервалы между платежами не равны году, то в качестве единицы измерения срока принимаются доли года, из­меренные как правило в месяцах, деленных на 12. Например, инвестиции в сумме 500 тыс. руб­лей принесут в первый месяц 200 тыс. рублей дополнительного дохода, во второй 300 тыс. руб­лей и в третий – 700 тыс. рублей. Ставка сравнения равна 25%. Чистая приведенная стоимость данного проекта составит 1 млн. 147 тыс. руб.:

Довольно распространенной является ошибка, когда в подобных случаях пытаются рассчитать месячную процентную ставку делением годовой ставки на 12, а срок проекта измеряют в целых месяцах (вместо 1 / 12 года берут 1 месяц. вместо 2 / 12 – 2 и т.д.). В этом случае будет получен неправильный результат, т.к. возникнет эффект ежемесячного реинвестирования начисляемых сложных процентов. Чтобы получить эквивалентный результат, для нахождения месячной ставки необходимо предварительно пересчитать годовую эффективную ставку i в номиналь­ную j при m = 12 по формуле j = m * ((1 + i)^1/m – 1) (см. гл. 2.2). В данном случае эквивалент­ной является номинальная годовая ставка 22,52% ставка, разделив которую на 12 можно полу­чить значение для помесячного дисконтирования денежного потока.

Если денежный поток состоит из одинаковых и равномерно рапределенных выплат (то есть представляет собой аннуитет), можно упростить расчет NPV, воспользовавшись форму­лами дисконтирования аннуитетов из табл. 3.3.3 предыдущего параграфа. Например, если бы в рас­сматриваемом проекте было предусмотрено получение в течение трех месяцев по 400 тыс. руб­лей дохода ежемесячно (то есть R = 4800), то следовало рассчитать приведенную стоимость ан­нуитета сроком 3 / 12 года и числом выплат p = 3. Применив формулу (12) из предыдущего параграфа, получим

Кроме правильного вычисления чистой приведенной стоимости, необходимо понимать ее финансовый смысл. Положительное значение этого показателя указывает на финансовую целе­сообразность осуществления операции или реализации проекта. Отрицательная NPV свидетель­ствует об убыточности инвестирования капитала таким образом. В примере с проектом полу­чено очень хорошее значение NPV, свидетельствующее о его инвестиционной привлекательности. Возвратившись к данным табл. 2.4.1, можно видеть, что два последних ва­рианта погашения долга дают нулевую NPV, то есть в финансовом плане само по себе пользо­вание заемными средствами не принесет предприятию ни вреда ни пользы. Если же оно изберет первый вариант (возврат основной суммы долга по окончании его срока), то получит отрица­тельную NPV –472,2 тыс. рублей, следовательно такой план погашения задолженности прине­сет ему финансовые потери.

О достоинствах и особенностях чистой приведенной стоимости будет очень подробно го­вориться в последующих главах. Остается только заметить, что значение ее для финансового менеджмента настолько высоко, что многократно окупает затраты труда по изучению и осмыс­лению всех вышеприведенных формул финансовых вычислений. Вторым столь же важным фи­нансовым показателем является внутренняя норма доходности (IRR – от английского internal rate of return). Рассмотрим еще один инвестиционный проект. Внедрение новой технологии тре­бует единовременных затрат в сумме 1,2 млн. рублей. Затем в течение 4 лет предприятие пла­нирует получать дополнительный денежный поток от этих инвестиций в размере: 1-й год – 280 тыс. рублей, 2-й год – 750 тыс. рублей, 3-й год – 1 млн. рублей и 4-й год – 800 тыс. рублей. Рас­считаем NPV этого проекта при ставке сравнения 30% годовых:

Реализация проекта может принести предприятию 194,4 тыс. рублей чистой приведенной стоимости при условии использования ставки сравнения 30%. А при какой процентной ставке проект будет иметь нулевую NPV, то есть, какой уровень доходности приравняет дисконтиро­ванную величину денежных притоков к сумме первоначальных инвестиций? Взглянув на фор­мулу расчета NPV, можно сделать вывод, что увеличение ставки i снижает величину каждого члена потока и общую их сумму, следовательно, чем больше будет уровень ставки, приравни­вающей NPV к нулю, тем более мощным будет сам положительный денежный поток. Иными словами, мы получаем характеристику финансовой эффективности проекта, которая как бы за­ложена внутри него самого. Поэтому данный параметр и получил название внутренняя норма доходности (иногда используется термин внутренняя норма рентабельности, внутренняя про­центная ставка и др.). Итак IRR это такая годовая процентная ставка, которая приравнивает те­кущую стоимость денежных притоков по проекту к величине инвестиций, т.е. делает NPV про­екта равным нулю.

Из определения IRR следует, что для ее расчета можно использовать формулу определения NPV (2), решив это уравнение относительно i. Однако данная задача не имеет прямого алгебраического решения, поэтому найти величину IRR можно или путем подбора значения или используя какой-либо итерационный способ (например, метод Ньютона-Рафсона). Широкое распространение вычислительной техники упростило решение подобных задач, по­этому в настоящем пособии не будет рассмотрен математический аппарат расчета IRR «вруч­ную». Наличие ПК с пакетом электронных таблиц практически снимает проблему. Подберем с помощью компьютера значение i, отвечающее заданным требованиям, оно составит около 37,9%. То есть данный инвестиционный проект обладает доходностью 37,9%. Сравнивая полученное значение с доходностью альтернативных проектов, можно выбрать наиболее эффективный из них.

[1] Расчет выполнен по формуле определения суммы арифметической прогрессии: s_n = na₁ + (n – 1) nd / 2, где a₁ – первый член прогрессии, а d – ее разность.

Дата добавления: 2014-01-05