Элементы теории множеств

1. Понятие множества и подмножества.

2. «Круги Эйлера».

3. Операции над множествами.

4. Алгебра множеств.

5. Отображения и отношения.

6. Мощность бесконечных множеств.

7. Основные структуры в математике.

В 1. Множество относится к математическим объектам, для которых нет строго определения. Как, например, понятие «точка» в геометрии.

Такие понятия вводятся на интуитивном уровне, тем не менее, на их основе даются строгие определения других математических объектов. Мы можем лишь в какой-то мере объяснить такое понятие, т.е. дать описание основных его свойств.

Т.е. Опр. 1.1: Под множеством обычно понимается совокупность объектов, объектов, обладающих определенным набором свойств. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Обычно множества обозначают прописными буквами латинского или греческого алфавита, а элементы множества – соответствующими строчными буквами.

Пример: Если элемент х принадлежит множеству Х, то пишут: х€Х, если элемент х не принадлежит Х, то пишут х€Х.

Если множество Х состоит из элементов х₁, х₂, х₃,…, х_n, то принято записывать: Х={ х₁, х₂, х₃,…, х_n }.

Опр. 1.2 Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Его обозначают символом Ø.

Пример: Множество всех действительных корней уравнения х²=-9 − пусто.

Все множества можно разделить на две большие группы: конечные и бесконечные.

Опр. 1.3 Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.

Пример: Множество всех студентов факультета – является конечным.

Опр. 1.4 Непустое множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Пример: Множество натуральных чисел.

Введем некоторые специальные символы, широко используемые в математике.

Квантор общности обозначается " и читается: «любой», «каждый».

Пример: Любой элемент х из множества Х: "хÎХ.

Квантор существования обозначается $ и читается: «существует».

Пример: Существует число К такое, что |f(х)|<К

"хÎХ: $к: |f(х)|<К, "хÎХ

Символ логического следования => означает «следует», «вытекает».

Символ эквивалентности <=> обозначает равносильность утверждений, расположенных по разные стороны от него.

Он читается «тогда и только тогда».

Опр. 1.5 Говорят, что множество А есть подмножество множества В, если каждый элемент А является элементом В. В этом случае так же говорят, что множество А включено во множество В или множество В включает множество А.

Это обозначается АÎВ, для доказательства это утверждение требуется проверить утверждение: если хÎА, то хÎВ.

Пример: 1. Пусть А – множество кранных яблок, а В – множество всех яблок. Тогда АÎВ: красное яблоко – это и просто яблоко.

2. Множество {1,2} есть подмножество множества {1,2,3}.

Дата добавления: 2014-01-05