Методологія кількісного статистичного узагальнення

Основні теоретичні положення.

Тема №5 розглядається в першому модулі курсу «Статистика» та складається з 4-х навчальних питань:

5.1. Абсолютні величини.

5.2. Відносні величини.

5.3. Середні величини.

5.4. Показники варіації.

Зміст системи показників розглянутий в §5.1 і схематично зображений на рис.5.1-4. Решта питань, які дають уявлення про особливості системи, представлені в цьому параграфі далі, а визначення всіх основних теоретичних положень і термінів – в таблиці 5.

Завжди треба пам’ятати.

1. Застосування тих чи інших показників обумовлено, перш за все, метою аналізу, а, по-друге, характером розподілу ознаки (► рис.1.3).

2. Збирання первинних даних завершується їх формалізацією у статистичних формулярах в абсолютних значеннях досліджуваної ознаки – в абсолютних величинах (► п.5.1 і рис.5.2).

У задачі №1 такими величинами є, наприклад, тижневі дані (сумарні абсолютні величини), що наводяться в гр.3, 4 (натуральні) і гр.5 (грошові) розділів «Покупка продовольчих товарів…», в гр.2 (грошові) розділу «Витрати на харчування поза домом» (► поз.2.1) в щоденниках домогосподарств. Вони є

результатом звичайного додавання окремих фізичних об’ємів або грошових витрат (індивідуальних абсолютних величин) по кожній одиниці відповідного товару.

3. Абсолютні значення досліджуваної ознаки є робочим матеріалом для подальшої систематизації (групування) й аналізу на рівні узагальнюючих показників (► п.4.2). Результат групування первинних даних у статистичній звітності – сумарні абсолютні величини.

У задачі №1 такими величинами є, наприклад, місячні дані (сумарні абсолютні величини), що наводяться в гр.2 (натуральні) і гр.3 (грошові) розділу 4 «Купівля продуктів харчування» (► поз.3.1-3), гр.5 (грошові) розділу 3 «Грошові витрати сім’ї» (► поз.3.5) звітної форми №1 «Бюджет сім’ї». Вони є результатом звичайного додавання окремих тижневих фізичних об’ємів або грошових витрат по кожному виду та кожній групі відповідного товару, а також по кожній статті витрат.

4. Статистичний аналіз побудований на всіх, без винятку, видах статистичних показників (► рис.5.1).

5. Якщо результатом опрацювання даних стає статистичний ряд, то його числовими характеристиками є: по-перше, абсолютна (► п.п.3.24 і 35) та відносна частота (► п.п.3.26 і 37) (якщо ряд інтервальний – щільність (► п.3.39)) ознаки, а також об’єм ряду (► п.п.3.25 і 36), які характеризують відповідно окремі його варіанти (► п.3.23) (класові інтервали (► п.п.3.32 і 33)) і ряд в цілому, узагальнюючи їх на рівні абсолютних (► п.5.1) і відносних (► п.5.2) величин; по-друге, характеристики положення (► п.4.9), розсіювання (► п.4.10), асиметрії й ексцесу (► п.4.11), які характеризують закономірності розподілів (► п.4.5) представлених ними ознак на рівні середніх величин (► п.5.3 і рис.5.3) і показників варіації (► п.5.25 і рис.5.4).

6. Проведення переважаючої більшості статистичних обстежень пов’язано з обчисленням вибіркових статистик: з одного боку, це – вибіркові оцінки (► п.п.4.24 і 6.12); з іншого боку, це – квантилі (► п.4.8) типових розподілів, які застосовуються для перевірки статистичних гіпотез (► п.4.31).

7. Специфічні методи аналізу засновані на відповідних показниках: кількісні зміни ознаки у часі оцінюють методом рядів динаміки через увесь спектр показників, але саме в динамічних задачах їх відокремлюють в групу показників динаміки (► п.п.7.5-14); оцінка відносних змін ознаки у часі, територіально та під впливом різних факторів стає можливою, якщо вона

розглядається як предмет індексного методу через призму статистичних індексів (► п.8.4); імовірнісна оцінка причинно-наслідкових (факторних) зв’язків між ознаками та спроба їх представлення математичними функціями стає можливою завдяки кореляційно-регресійному аналізу, побудованому на показниках зв’язку – індексах детермінації (► п.9.20) та коефіцієнтах кореляції (► п.9.27).

8. Будь-яка динамічна або факторна математична модель, яка побудована по вибіркових даних, лише наближено характеризує відповідно динаміку або факторний зв’язок імовірнісними оцінками параметрів цієї моделі. Кожен параметр моделі підлягає кількісній оцінці (► п.4.24), а кожна його вибіркова оцінка підлягає перевірці на значущість за певним критерієм значущості (► п.4.37) заданого рівня. Оцінка параметрів та перевірка статистичних гіпотез охоплює весь спектр показників.

9. Одиниці вимірювання статистичного показника повною мірою залежать від одиниці вимірювання ознаки та способу розрахунку самого показника. Найбільш поширеною у світі системою одиниць, як в повсякденному житті, так і в науці й техніці, є міжнародна система одиниць СІ[35] (SI, фр. Système International d’Unités), сучасний варіант метричної системи [20].

Не всі практичні задачі пов’язані з проведенням вибіркового оцінювання та перевіркою статистичних гіпотез – якщо проводиться суцільне обстеження, аналіз дає цілком надійні абсолютні, відносні та середні показники як по окремих групах, так і по сукупності в цілому. Поширеними серед останніх є відносні величини виконання планового завдання, динаміки, структури, координації, порівняння й інтенсивності (► п.5.2 і рис.5.2), а також середнє арифметичне значення ознаки (► п.п.5.10-13 і рис.5.3).

Рис. 5.2. Класифікація абсолютних і відносних величин

Рис. 5.3. Класифікація середніх величин

Рис. 5.4. Класифікація показників варіації

Таблиця 5

Термін (поняття)	Визначення (формула)
§5.1. Абсолютні величини(► рис.5.2)
1. Абсолютні величини	Статистичні показники, які характеризують розмірі досліджуваного явища (ознаки); складають основу статистичного спостереження. Абсолютні величини поділяють на (► рис.5.2): а) у залежності від ступеню агрегування явищ: - індивідуальні; - сумарні; б) у залежності від змісту досліджуваних явищ: - натуральні (прості і складені); - грошові; - трудові.
§5.2. Відносні величини(► рис.5.2)
2. Відносні величини	Статистичні показники, що визначаються як частка від ділення двох і більше абсолютних величин і можуть бути поданими як коефіцієнт, процент, проміле, дециміле, характеризуючи розмір порівняної величини, що припадає на певний умовний розмір величини-бази порівняння. Змістовно вони характеризують (► рис.5.2): - виконання планового завдання; - координацію; - динаміку; - порівняння; - структуру; - інтенсивність.
§5.3. Середні величини(► рис.5.3)
3. Середні величини	Узагальнюючі статистичні показники, що відображають дію загальних умов, закономірність досліджуваного явища й обчислюються на основі масових однорідних даних правильно статистично організованого масового спостереження, як середнє (► п.5.4).
4. Середнє ()	Узагальнююча числова характеристика розташування набору елементів (одиниць статистичної сукупності); якщо набір складається з елементів x 1, x 2, …, xN, то їх середнє позначається як і може бути степеневим (незваженим (► п.5.5) і зваженим (► п.5.6)), інтегральним (► п.5.7), логарифмічним (► п.5.8), хронологічним (► п.5.9).
5. Степеневе середнє (незважене, або просте)	Середнє додатних чисел x1, x2, …, xN, яке обчислюється за формулою:

Продовження таблиці 5

5. Степеневе середнє (продовження)	де z ≠ 0 – фіксоване дійсне число; при z = -1, z = 1 і z = 2 степеневе середнє дає відповідно гармонічне (► п.5.14), арифметичне (► п.5.11) і квадратичне середнє, а при z → 0 – геометричне середнє (► п.7.13).
6. Степеневе середнє (зважене)	Середнє величин x 1, x 2, …, xm, що мають відповідні ваги f 1, f 2, …, fm, яке обчислюється за формулою:       де зміст z аналогічний.
7. Інтегральне середнє	Середнє значення функції в області, що розглядається: інтеграл від функції в цій області; наприклад, інтегральне середнє функції f (X) дійсної змінної на відрізку [ a, b ] визначається вираженням:
8. Логарифмічне середнє	Середнє величин x 0, x 1, x 2, …, xN, яке обчислюється за формулою:
9. Хронологічне середнє (► п.7.11)	Часове середнє – середнє моментного ряду динаміки (► п.7.3) об’єму N з рівновіддаленими датами:
10. Середнє у варіаційному ряду	У варіаційних рядах найчастіше обчислюються такі середні: - середнє арифметичне (► п.5.11); - середнє гармонічне (► п.5.14); - структурні середні (► п.5.16).
11. Середнє арифметичне	Вид степеневого середнього (z = 1), що показує, яка величина із сумарного значення ознаки в рівній мірі припадає на кожну одиницю досліджуваної статистичної сукупності. У дискретному (► п.5.12) й інтервальному (► п.5.13) рядах воно має певні відмінності.

Продовження таблиці 5

12. Середнє арифметичне в дискретному ряду	Це середнє арифметичне зважене, в якому вагами є абсолютні (відносні) частоти fj (ωj) відповідних індивідуальних значень xj дискретної ознаки X:
13. Середнє арифметичне в інтервальному ряду	Це середнє арифметичне зважене, в якому вагами є абсолютні (відносні) частоти fj (ωj) інтервальної ознаки, а сама ознака X представлена її серединними значеннями xj´ в інтервалах:
14. Середнє гармонічне	Вид степеневого середнього (z = -1), що застосовується, коли статистичні дані не містять інформації про частоту fj окремих варіантів xj ряду, а представлені як їх добуток Wj = xj fj у зваженій формі середнього: Якщо Wj = const, то зважена форма спрощується до незваженої (простої):
15. Середнє альтернативної ознаки	Дорівнює частці ω 1 тих варіантів, що мають досліджувану ознаку (при статистичному вираженні коливань альтернативної ознаки її наявність позначається одиницею (1), а її відсутність – нулем (0), а їх частості зручно представити як ω 1 і ω 0; ω 1 + ω 0 ≡ 1):   (1 ∙ ω 1 + 0 ∙ ω 0): (ω 1 + ω 0) = ω 1.   Воно не може бути більшим за одиницю.

Продовження таблиці 5

16. Структурні середні у варіаційних рядах	До них належать мода Мо (► п.п.4.9/3, 5.17-19) і медіана Ме (► п.п.4.9/2, 5.20-21).
17. Мода в дискретному ряду (Мо)	Варіант з найбільшою абсолютною (відносною) частотою: Мо = Х (f max).   Якщо такий варіант один, розподіл є одномодальним (унімодальним), якщо їх два – бімодальним, більше двох – багатомодальним.
18. Мода в інтервальному ряду (Мо)	Умовне значення ознаки в межах модального інтервалу, або абсциса локального максимуму гістограми, яка обчислюється: де х Мо – нижня границя модального інтервалу; ΔМо – довжина модального інтервалу; f Мо – частота модального інтервалу; f Мо-1 – частота інтервалу, що передує модальному інтервалу; f Мо+1 – частота інтервалу, наступного за модальним інтервалом.
19. Модальний інтервал	В інтервальному ряду інтервал з найбільшою абсолютною (відносною) частотою.
20. Медіана в дискретному ряду (Ме)	Значення ознаки, що ділить ряд на дві рівні за об’ємом частини, або квантиль порядку ½ (М1/2) (► п.4.8): якщо об’єм ряду непарне число, модою є центральний варіант; якщо об’єм ряду парне число, то модою є півсума двох сусідніх варіантів, між яким знаходиться медіана: Ме = (хN /2 + xN /2+1)/2.
21. Медіана в інтервальному ряду (Ме)	Умовне значення ознаки в межах медіанного інтервалу, що ділить об’єм ряду навпіл й обчислюється: де х Ме – нижня границя медіанного інтервалу; ΔМе – довжина медіанного інтервалу; f Ме – частота медіанного інтервалу; Σ f/ 2– півсума абсолютних частот ряду; SМe-1 – сума частот інтервалів, що передують медіанному.

Продовження таблиці 5

22. Властивості середніх	Якщо Х = { xj }, j = 1, …, N, тоді[36]: розподіл симетричний.
23. Спосіб моментів (відліку від умовного нуля) в обчисленні середнього арифметичного	де a = const, k – загальний дільник, найбільший для всіх xj – a.
§5.4. Показники варіації(► рис.5.4)
24. Варіація	Такі кількісні зміни досліджуваної ознаки в межах однорідної сукупності, що обумовлені впливом різних факторів. Розрізняють систематичну і випадкову варіацію.
25. Показники варіації (► п.4.10)	Узагальнюючі числові характеристики розсіювання набору елементів (одиниць статистичної сукупності); якщо набір складається з елементів x1, x2, …, xN, то їх показники варіації можуть бути абсолютними (► п.5.26), середніми (► п.5.27) та відносними (► п.5.33).
26. Абсолютний показник варіації (R)	Розмах варіації R – це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки (► п.4.10/1):   R = x max – x min.
27. Середні показники варіації	Поширені середні показники варіації у варіаційних рядах: середнє лінійне абсолютне відхилення (СЛАВ) (► п.п.5.28, 29), дисперсія (► п.п.5.30, 31) та середнє квадратичне відхилення (СКВ) (►п.5.32).

Продовження таблиці 5

28. Середнє лінійне відхилення (СЛАВ) в дискретному ряду ()	Це середньозважена міра лінійного абсолютного відхилення варіантів xj дискретного ряду від середнього арифметичного значення ознаки Х в цьому ряду (► п.4.10/2):
29. СЛАВ в інтервальному ряду ()	Це середньозважена міра лінійного абсолютного відхилення серединних значень xj´ ознаки X в інтервалах ряду від середнього арифметичного її значення в цьому ряду (► п.4.10/2):
30. Дисперсія в дискретному ряду (D = σ²)[37]	Це середньозважена міра квадратичного відхилення варіантів xj дискретного ряду від середнього арифметичного значення ознаки Х в цьому ряду (► п.4.10/3):
31. Дисперсія в інтервальному ряду (D = σ²)	Це середньозважена міра квадратичного відхилення серединних значень xj´ ознаки X в інтервалах ряду від середнього арифметичного її значення в цьому ряду (► п.4.10/3):

Продовження таблиці 5

32. Середнє квадратичне відхилення (СКВ) (σ)	Є коренем квадратним з дисперсії ознаки у варіаційному ряду (► п.4.10/4):
33. Відносні показники варіації	Поширеними серед відносних показників варіації є коефіцієнт осциляції (► п.5.34), відносне лінійне відхилення (► п.5.35) та коефіцієнт варіації (► п.5.36).
34. Коефіцієнт осциляції (Ко)	Відображає у варіаційному ряду відносне розсіювання крайніх значень x min і x max ознаки Х навколо середнього арифметичного її значення , як відношення розмаху варіації до середнього арифметичного (може обчислюватись у відсотках, множенням Ко на 100%):
35. Відносне лінійне відхилення ()	Показує питому вагу середнього відхилення кожного значення xj ознаки X вліво та вправо від її середнього арифметичного , як відношення середнього лінійного абсолютного відхилення до середнього арифметичного (може обчислюватись у відсотках, множенням на 100%): Якщо > 32%, то має місце суттєва кількісна неоднорідність ознаки у досліджуваній сукупності.
36. Коефіцієнт варіації (υ)	Найбільш поширений відносний показник варіації щодо оцінки типовості середніх величин. Він показує питому вагу середнього квадратичного відхилення кожного значення xj ознаки X вліво та вправо від її середнього арифметичного , як відношення середнього квадратичного відхилення до середнього арифметичного (може обчислюватись у відсотках, множенням υ на 100%): υ   Якщо υ > 40%, то має місце суттєва варіація ознаки у досліджуваній сукупності.

Продовження таблиці 5

37. Властивості дисперсії	Якщо Х = { xi }, i = 1, …, N, то: .
38. Спосіб моментів (відліку від умовного нуля) в обчисленні дисперсії	де a = const, k – загальний найбільший для всіх xj – a дільник.
39. Види дисперсії (елементи дисперсійного аналізу)	Розрізняють наступні види дисперсій: загальну (► п.5.40), міжгрупову (► п.5.41), середнє внутрішніх групових дисперсій (► п.5.42). Дисперсійний аналіз застосовується для оцінки флуктуацій ознаки усередині кожної групи (вибірки) та відмінностей самих груп (вибірок).
40. Загальна дисперсія (σо²)	Для результативної ознаки характеризує варіацію, яка залежить від усіх факторів, що впливають на ознаку Х в межах досліджуваної сукупності: де – загальне середнє у сукупності.
41. Міжгрупова дисперсія (δ² )	Для результативної ознаки відображає варіацію, яка виникає під впливом факторної ознаки, що покладена в основу групування, і характеризує коливання групових (частинних) середніх навколо загального середнього : де l – номер окремої групи, fl – її абсолютна частота. По відношенню до факторної ознаки ця варіація є систематичною.

Продовження таблиці 5

42. Середнє внутрішніх групових дисперсій ()	Характеризує випадкову варіацію в кожній окремій групі: де – внутрішня дисперсія l -групи. Випадкова варіація має місце під впливом інших, неврахованих факторів, і не залежить від факторної ознаки.
43. Правило додавання дисперсій	Загальна дисперсія дорівнює сумі значень міжгрупової дисперсії та середнього з внутрішніх групових дисперсій:
44. Коефіцієнт детермінації (η² ) (► п.9.20)	Характеризує у загальній варіації питому вагу (відсоток) варіації, що обумовлена факторною ознакою:     Якщо η² > 50%, то факторну ознаку можна вважати основною, а решту ознак, вплив яких на результативну ознаку становить (1– η²), – другорядними.
45. Дисперсія альтернативної (якісної) ознаки (σω² )	Дорівнює добутку частки ω 1 одиниць, які наділені ознакою, і частки ω 0 = (1– ω 1) одиниць, не наділених нею:   σ ω ² = ((1 – ω 1)² ∙ ω 1 + (0 – ω 0) ² ∙ ω 0): (ω 1 + ω 0) = ω 1 ∙ ω 0.   Вона не може бути більшою за 0,25.

Дата добавления: 2014-01-05