КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференцирование функции, заданной неявно
Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные и : .
Например, уравнение определяет функцию , при этом DER.
Уравнение выполняется только при и задает точку . Уравнение не определяет никакой функции на R, так как оно не имеет действительных корней, а значит, нельзя рассматривать как функцию от . Итак, уравнение вида не всегда задает функцию .
Пусть уравнение определяет как некоторую функцию от . Если в это уравнение подставить вместо у функцию , то получим тождество .
Придадим приращение , тогда значению аргумента будет соответствовать значение функции , но с другой стороны . Разность также равна нулю: .
Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде . Разделим последнее равенство на : . Откуда .
Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно: . Аналогично можно вычислить частные производные неявной функции переменных по всем ее аргументам.
Например, для функции справедливо: , . Пример. Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением . Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через . , . Следовательно, . Пример. Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением . Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через . , . Следовательно, .
Пример. Найти частные производные неявной функции , заданной уравнением . Решение. , , . Следовательно, , .
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 536; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |