Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Частные производные и дифференциалы высших порядков




Частные производные высших порядков. Пусть функция имеет непрерывные частные производные и в точке D(). Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных и . Будем называть и частными производными первого порядка.

 

Частные производные по и по от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции в точке и обозначаются

, , ,

(если дифференцируется последовательно два раза по );

 

, , ,

(если дифференцируется сначала по , а затем по );

 

, , ,

(если дифференцируется сначала по , а затем по );

 

, , ,

(если дифференцируется последовательно два раза по ).

 

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . В результате получим восемь частных производных третьего порядка:

, , , , , , , .

 

Аналогично, частная производная от производной -го порядка называется частной производной -го порядка и обозначается

, , и т. д.

Частные производные высших порядков функции , взятые по различным переменным, например, , , , и т.д., называются смешанными производными.

 

Среди частных производных второго порядка функции имеются две смешанные производные и .

 

Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.

 

Справедлива следующая

Теорема. Если функция и ее частные производные , , и определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то .

Замечание. Данная теорема, а также все приведенные выше рассуждения имеют место и для функции любого числа переменных.

 

 

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение. Функция определена и непрерывна на R2. Найдем частные производные первого порядка

, .

 

Они определены и непрерывны на R2. Найдем частные производные второго порядка

, ,

.


Дифференциалы высших порядков. Пусть — функция двух независимых переменных и , дифференцируемая в области D(). Придавая и приращения , , в любой точке Dможно найти полный дифференциал

,

который называют дифференциалом первого порядка функции .

 

Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке D, если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается

.

Найдем аналитическое выражение для , считая и по­стоянными:

.

 

Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение для дифференциала третьего порядка :

.

Замечание. Приведенные выше формулы дифференциалов не обладают свойствами инвариантности для сложных функций.

Пример. Найти и , если .

Решение. Используем формулу для вычисления полного дифференциала .

, .

 

Для определения вычислим предварительно частные производные второго порядка:

, ,

.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 773; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.