Методи та засоби вимірювання електричних та неелектричних величин 7 страница

де H_T - момент імпульсу матеріальної точки навколо центра О; R - відстань від центра О до матеріальної точки

Момент імпульсу матеріальної точки Н_т визначається як

,

де J_T- момент інерції матеріальної точки при її обертання навколо центра О з кутовою швидкістю Ω.

Тепер можна записати момент сил, що створюється силою Коріоліса

Якщо, як зазначалось раніше, вважати ротор гіроскопа сумою матеріальних точок, які рівномірно розташовані навколо центра О, причому їх спільний вклад в коріолісову силу дорівнює їх векторній сумі, то попередня формула буде мати вигляд

де J— момент інерції ротора при його обертанні навколо центра О з кутовою швидкістю Ω; H - момент імпульсу ротора гіроскопа.

Отриманий момент М і є гіроскопічним моментом, що змушує відхилятися ротор гіроскопа, а з ним і рамку, в якій він закріплений.

Робота гіротахометрів базується на інерційному принципі, тому вони не потребують механічного зв'язку із зовнішнім середовищем, відносно якого відбувається по­ворот. Ця властивість гіротахометрів робить їх дуже зручними для вимірювання швидкості повороту рухомих об'єктів, які, крім вимірюваної кутової швидкості, мають ще й швидкість поступального руху відносно Землі або іншої базової поверхні.

Гіроскопічні тахометри відрізняються від інших засобів вимірювання кутової швидкості низьким порогом чутливості. Ця властивість робить їх придатними для вимірювання дуже малих кутових швидкостей.

ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ №3. МЕТОДИ ТА ЗАСОБИ ВИМІРЮВАНЬ ПАРАМЕТРІВ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ МАТЕРІАЛІВ ТА СТРУКТУР

Тема 7. Метрологічне забезпечення вимірювань параметрів напівпровідників (лекції №24-28)

Основні поняття теорії випадкових похибок

Нормальний закон розподілу випадкової величини. Методи перевірки нормативності розподілу випадкових похибок.

При вивченні випадкових похибок за допомогою теорії ймовірності і математичної статистики найчастіше використовують закон нормального розподілу випадкових величин:

, (1)

де m_x – математичне сподівання випадкової величини Х; ς – середньоквадратичне відхилення випадкової величини; ς ² = Д – дисперсія випадкової величини.

Закон нормального розподілу випадкових величин, що виражається формулою (1), дає можливість обчислити імовірність перебування випадкової величини Х в визначених границях (тобто від - ς до + ς).

Строго говорячи, нормальний закон розподілу може точно описувати тільки нескінченну сукупність випадкових погрішностей (її називають генеральної). Однак його можна застосовувати і для опису кінцевих сукупностей, вважаючи, що вони випадково обрані з генеральної (саме тому кінцеві сукупності називаються вибірками).

У вибірках з кінцевим числом вимірів n точне обчислення m_x і ς неможливо; замість них приблизно обчислюють їхні статистичні оцінки та Для вибірки з n значень оцінкою математичного чекання випадкової величини (її найбільш ймовірним значенням) є

(2)

тобто приймаємо, що математичний опис дорівнює середньоарифметичному значенню випадкової величини .

Вибіркове середньоквадратичне відхилення окремих результатів спостережень (вимірів) для тієї ж вибірки можна обчислити по формулі Бесселя:

(3)

де х_i – x – випадкове відхилення і-го результату спостережень від знайденого значення .

Формула Бесселя справедлива для будь-якого закону розподілу випадкових похибок. При нормальному розподілі похибок можна обчислити S по спрощеній формулі Петерса:

(4)

Якщо значення S_п істотне відрізняється від S, отриманого по формулі Бесселя (3), то можна вважати, що в даній вибірці дійсний закон розподілу похибок відрізняється від нормального і це вибірку обробляти за правилами для випадкових похибок не випливає.

Оцінка математичного опису випадкової величини для вибірки небагато відрізняється від (що обчислюється для нескінченно великої сукупності випадкових похибок). Якщо закон розподілу похибок нормальний можна вважати, що відхилення від не перевищує

(5)

де S- середньоквадратичне відхилення значення (від математичного чекання ).

Надійні границі, у яких при заданій імовірності знаходяться величина Х, обчислюється по формулі: (для нижньої границі) і (для верхньої), де - коефіцієнт надійності для імовірності Р. Для невеликих вибірок (n<30) надійні границі залежать також і від кількості вимірів (спостережень) n (це уточнення запропонував Стьюдент):

Таблиця 1. Коефіцієнт Стьюдента

n	РД
0,80	0,90	0,95	0,99	0,995	0,999
∞	3,080 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,363 1,350 1,341 1,333 1,328 1,316 1,306 1,298 1,290 1,282	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,80 1,77 1,75 1,74 1,73 1,70 1,68 1,68 1,67 1,64	12,71 4,30 3,188 2,77 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,20 2,16 2,13 2,11 2,09 2,04 2,02 2,01 2,00 1,96	63,70 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,11 3,01 2,95 2,90 2,86 2,75 2,70 2,68 2,66 2,58	127,30 14,10 7,50 5,60 4,77 4,32 4,03 3,83 3,69 3,50 3,37 3,29 3,22 3,17 3,20 3,12 3,09 3,06 2,81	637,20 31,60 12,94 8,61 6,86 9,96 5,40 5,04 4,78 4,49 4,22 4,07 3,96 3,88 3,65 3,55 3,50 3,46 3,29

У технічних вимірах (як лабораторних, так і виробничих) обчислення виконуються з імовірністю Р=95%; в окремих випадках, коли експеримент неможливо повторити, приймають Р=99%. Тільки, в особливо важливих випадках, якщо результати експерименту впливають на життя і здоров'я людей, варто брати Р=99%.

Оскільки методи обробки результатів вимірів базуються на використанні нормального закону розподілу, перед початком обчислень бажано переконається в тім, що дана сукупність відповідають нормальному закону розподілу.

В останні роки для порівняно невеликих сукупностей вимірів (3<n<40) таку перевірку часто здійснюють графічним методом. У цьому випадку для даної вибірки за визначеними правилами коштують графік емпіричного розподілу і якщо крапки цього графіка розташовуються приблизно на прямої лінії, те дана сукупність відповідає нормальному закону розподілу.

Застосовуючи графоаналітичний метод аналізу, випливає насамперед упорядкувати вибірку, розмістити значення вимірів Х_і в порядку зростання:

X₁ X₂ …... X_n

Якщо деякі значення в такому варіаційному ряді повторюються, то в робочу таблицю їх записують тільки раз, але вказують кількість цих значень (частота m_і даного варіанта Х_і ряду) У наступній графі записують значення так називаної частоти М_і (сумарна кількість значень m_і від початку до Х_і включно плюс попереднє значення М_і).

Після цього розраховують інтеграл Лапласа:

(6)

де n – кількість вимірів, кількість значень Х_і (кількість членів вибірки).

Потім за знайденим значенням інтеграла Лапласа по таблиці “Значення інтеграла Лапласа” (таблиці маються в довідковій літературі) знаходять значення аргументу і далі будують графіка . Якщо графік функції приблизно прямолінійний, то можна вважати, що вибірка не суперечить нормальному закону розподілу.

Одержання найбільш достовірного результату виміру й оцінка його погрішності – основна мета обробки даних, отриманих у ході експерименту. Вибір методу обробки залежить від числа експериментальних даних (багаторазові, однократні виміри), виду вимірів, виду розподілу погрішностей вимірів.

Для оцінки результату однократного виміру використовують результати спеціального поставленого чи експерименту дані попередніх досліджень умов вимірів, погрішності використання засобів і методів вимірів, суб'єктивних погрішностей.

При визначенні результату багаторазових вимірів звичайно використовуються ймовірні методи оцінки, що розглянуті вище. Найбільше поширення одержали статистичні методи обробки (при цьому розподіл отриманого ряду експериментальних даних не суперечать нормальному розподілу).

У загальному алгоритм обробки результатів багаторазових вимірів може побут представлений у наступному виді:

1. Одержавши експериментальні дані у виді статистичного ряду (вибірки), аналізують і виключають з результатів вимірів систематичні помилки (див. лекцію «Виключення систематичних погрішностей»).

2. Перевіряють, чи відповідає вибірка нормальному закону розподілу. Відкидають промахи. (див. лекцію «Методи перевірки нормального розподілу випадкових похибок»).

3. Аналізують вибірку (статистичний ряд) з метою виявлення грубих помилок і промахів: установлюють при використанні довірчого інтервалу різко виділяються виміри Х_max, X_min.

При наявності грубих помилок, критерії їхньої появи обчислюються по формулах:

(7)

(8)

де Х_max, Х_min найбільше і найменше значення з n вимірів, - середньоквадратичне відхилення результату вимірів.

У таблиці 2 приведені залежності від довірчої імовірності максимальні значення β_max, що виникають унаслідок статистичного розкиду.

Якщо, розраховане по формулі (7), значення β₁>β_max, те значення Х_max необхідно виключити зі статичного ряду як грубу погрішність. Якщо, розраховане по формулі (8), значення β₂<β_max виключається величина X_min.

Таблиця 2. Критерій появи грубих помилок

n	βmax при рд	n	βmax при рд
0,90	0,95	0,99	0,90	0,95	0,99
	1,41 1,64 1,79 1,89 1,97 2,04 2,10 2,15 2,19 2,23 2,26 2,30	1,41 1,69 1,87 2,00 2,09 2,17 2,24 2,29 2,34 2,39 2,43 2,46	1,41 1,72 1,96 2,13 2,26 2,37 2,46 2,54 2,61 2,66 2,71 2,76		2,33 2,35 2,38 2,40 2,43 2,45 2,54 2,61 2,67 2,72 2,76 2,80	2,49 2,52 2,55 2,58 2,60 2,62 2,72 2,79 2,85 2,90 2,95 2,99	2,80 2,84 2,87 2,90 2,93 2,96 3,07 3,16 3,22 3,28 3,33 3,37

4. Після виключення грубих помилок обчислюють середньоквадратичне і середньоквадратичне відхилення очищеного ряду по формулах (2) і (3)

5. Знаходять середньоарифметичне значення середньоквадратичне відхилення ς₀ серії вимірів і коефіцієнт варіації, відповідно по формулах:

(9)

(10)

Коефіцієнт варіації характеризує мінливість. Чим вище , тим більше мінливість вимірів щодо середніх значень. оцінює також при оцінці декількох вибірок.

6. При великій вибірці задаються довірчою імовірністю Р_д=Ф(t) чи рівнянням значимості (1-рд) і по таблиці і по приведеній нижче інтегральній функції Лапласа визначають t.

Таблиця 3. Інтегральна функція Лапласа

t	Pд	t	Pд	t	Pд
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70	0,0000 0,0399 0,0797 0,1192 0,1585 0,1974 0,2357 0,2737 0,3108 0,3473 0,3829 0,4177 0,4515 0,4843 0,5161	0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45	0,5467 0,5763 0,6047 0,6319 0,6579 0,6827 0,7063 0,7287 0,7419 0,7699 0,7887 0,8064 0,8230 0,8385 0,8529	1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,25 2,50 3,00 4,00	0,8664 0,8789 0,8904 0,9011 0,9109 0,9199 0,9281 0,9357 0,9426 0,9488 0,9545 0,9756 0,9876 0,9973 0,9999

7. При малій вибірці (n30) у залежності від прийнятої довірчої імовірності Р_д і числа членів ряду n визначають коефіцієнт Стьюдента t_cт; розраховують довірчий інтервал за допомогою формули (11) для великої чи вибірки формули:

(12)

для малої вибірки (де - середньоквадратичне значення середньоквадратичного відхилення серії вимірів, обумовлене вираженням (9); t_ст – коеф. Стьюдента обумовлений по таблиці 1; - довірчий інтервал для малої вибірки).

8. По формулі:

(13)

установлюють щире (дійсне) значення досліджуваної величини.

9. Оцінюють відносну погрішність (%) результатів серії вимірів при заданій довірчій імовірності Р_д:

(14)

Якщо погрішність серії вимірів порівнянна з погрішністю приладу B_пр, то границі довірчого інтервалу варто визначати по формулі:

(15)

Формулою (15) варто користатися при t_ст 3в_пр. Якщо ж t_ст 3в_пр, то довірчий інтервал обчислюють за допомогою формули (12):

,

тут В_пр=, (16)

де - показання приладу; - дійсне значення вимірюваної величини, установлене за допомогою зразкового вимірювального приладу.

У дослідженнях часто по заданій точності (%) і довірчої імовірності виміру визначають кількість вимірів, що гарантують необхідні значення і Р_д (Примітка: значком позначають помилку виміру, що те саме).

Точність виміру визначається по формулі: . (17)

Довірчий інтервал помилок виміру визначається по формулі:

. (18)

Мінімальна кількість вимірів N_min, необхідне для гарантування необхідних значень і Р_д визначаються по формулі:

, (19)

де - коефіцієнт варіації (мінливості), %; - точність виміру (помилка виміру), %; t – гарантійний коефіцієнт (для великої вибірки при n>30 є аргументом функції Лапласа і визначаються по таблиці 3. (При n<30 – аргументом функції Стьюдента t_cт (табл.1).

Основні положення метрології напівпровідників

Основу виробів напівпровідникової електроніки складають напівпровідникові матеріали і структури. Основні напівпровідникові матеріали – це кремній, арсенід галій, фосфід індія, германій, тройні та четверні тверді розчини А³В⁵ та ін. Спеціальна область метрології, яка займається питаннями забезпечення єдності вимірювань і одно направленістю засобів вимірювання по відношенню до напівпровідникових кристалів та структур. називається метрологією напівпровідників.

Практична метрологія напівпровідників вивчає:

1.Системи фізичних критеріїв оцінки якості напівпровідникових матеріалів і структур.

2. Фізико-хімічні методи аналізу мікро домішок у напівпровідниках.

3. Методи і апаратуру вимірювання питомого електричного опору напівпровідникових матеріалів і структур.

4. Методи визначення концентрації домішок у напівпровідниках і параметрів нерівно вісних носіїв заряду.

5. Методи і апаратуру контролю ступенню структурної досконалості напівпровідників.

6. Методи і апаратуру для виробничого контролю епітаксій них шарів напівпровідникових структур.

7. Фізичні методи контролю технології виробництва напівпровідникових приладів і мікросхем.

Основними характеристиками напівпровідникових матеріалів і структур є: питомий електричний опір, час життя нерівновісних носіїв

заряду, концентрація домішок, дифузійна довжина нерівновісних носіїв

заряду.

Тема 8. Вимірювання часу життя та дифузійної довжини нерівно вісних носіїв заряду (лекції №29,30)

Нестаціонарні методи

У нестаціонарних (кінетичних) методах зазвичай вивчається релаксаційний процес переходу напівпровідника з рівноважного в нерівноважний стан або зворотний перехід при інжекції в напівпровідник надлишкових носіїв заряду (використовується фотоінжекція або інжекція струмом через неомічний контакт). Характеристики процесу рекомбінації, в простому і найчастіше випадку, що зустрічається, це час життя, знаходяться з порівняння теорії і експерименту.

Теорія рекомбінації оперує з концентрацією носіїв заряду — диференціальною величиною, а при вимірах визначаються які-небудь інтегральні величини, наприклад провідність всього зразка. Тому в задачу теорії кожного методу дослідження, в якому вимірюється та або інша інтегральна величина, входить визначення зв'язку між безпосередньо вимірюваною інтегральною характеристикою і диференціальними характеристиками.

Розглянемо простий і часто вживаний метод дослідження процесів рекомбінації, в якому відомості про них отримують по осцилограмі фотопровідності ∆Σ при освітленні зразка одиночними або періодичними прямокутними імпульсами світла. Типова схема вимірів приведена на рис. 1, а, де послідовно із зразком з опором R включені джерело напруги ІН і опір навантаження R_н. При освітленні зразка імпульсом світла на R_н виникає змінна напруга ∆U_н, яка після посилення підсилювачем У поступає на вхід осцилографа N. Напруга

Опір R_н вибирається так, щоб дотримувалася пропорційність між ∆U_н і ∆Σ.

Рис.1. Схема установки для дослідження кінетики фотопровідності (а), форма імпульса світла (б), осцилограма напруги (в)

При малому рівні інжекції | ∆R | «R₀, величиною ∆R у знаменнику (7.8) можна нехтувати і при будь-якому R_н напруга ∆U_н ~ ∆Σ. При довільному рівні інжекції така пропорційність буде реалізована лише при

R_н<< R, коли величиной R„ в знаменнику вираження (7.8) можна нехтувати і

Дослідження релаксації фотопровідності в різних умовах, наприклад при різній інтенсивності світла, його спектральному" складі, при постійному підсвічуванні, різних температурах, дає обширну інформацію про процеси рекомбінації в напівпровідниках. Нижче обмежимося простим випадком визначення часу життя τ при ∆n = ∆р і лінійною рекомбінацією носіїв, коли справедливе рівняння

де α - коефіцієнт поглинання світла; β— квантовий вихід; L — інтенсивність світла. Для прямокутних імпульсів світла з амплітудою L₀ і тривалістю Т (рис. 1, б) рішення (7.9) дає після закінчення дії імпульсу

∆n=αβL₀τ[1 – exp(-T/τ)]exp[(t-T)/τ.

Якщо Т >>τ, то за час дії імпульсу встигає встановитися стаціонарне значення концентрації ∆n=αβL₀τ.

Інжекція нерівноважних носіїв заряду імпульсом струму. Розглянемо біполярну інжекцію в зразок n- типу, в якого контакт при х = 0 інжектуючий з коефіцієнтом інжекції дірок γ, а при х = а — омічний. Через зразок починаючи з t = 0, в напрямів від першого контакту до другого пропускається імпульс струму з амплітудою І₀ і тривалістю Т. Уровень інжекції малий, а напруженість електричного поля в зразку досить велика для зневаги дифузійними складовими струмів.

Під час дії інжектуючого імпульсу напруга на зразку

По осцилограмі ∆U можна визначити τ, а по амплітуді другого доданку, вимірявши R₀, а також вимірявши або узявши з таблиць μ_n і μ_p, можна знайти γ. При τ > t _пр(де t_пр- час проліту носіїв заряду) на осцилограмі ∆U повинні спостерігатися злам і перехід до насичення. Вимірявши t_np, можна знайти μ_p.

Особливістю даних вимірів є те, що в них потрібно реєструвати малий сигнал ∆U на тлі більшого U₀. Виділення ∆U можна провести за допомогою обмежувача напругу. Такі схеми прості і тут не розглядаються. Опишемо лише виділення ∆U за допомогою моста, приведеного на рис. 2, а. У нім в одну діагональ включений генератор прямокутних імпульсів ГИ, а в другу — підсилювач У і осцилограф N. Зміна опору зразка при інжекції | ∆R | <<R₀ + R₁, тому через зразок проходять імпульси струму. Хай перемикач П знаходиться в положенні 1. Зміною опору R₂ збалансуємо міст у момент початку імпульсу. При інжекції виникає розбаланс і на екрані осцилографа спостерігається сигнал, пропорційний ∆U. На рис. 2, б змальовано дві типові осцилограми ∆U при різних τ.

Розглянемо тепер роботу схеми, коли перемикач П знаходиться в положенні 2.

Рис.2. Схема моста для вимірювання часу життя (а) і і типова осцилограма (б)

Використовуючи (7.14), записуємо для напруги U на зразку, що реалізовується

в схемі між крапками А і В,

де індекс «0» відзначає значення напруги у момент початку імпульсу струму t= 0; ∆г — опір ділянки резистора г від движка до точки D, г << R₃. Зміною R₂ можна добитися рівності напруги U і u у момент t = 0 (U₀ = u₀),

а потім зміною ∆г і R₃ добитися балансу моста в подальші моменти часу. При

балансі звідки можна визначити τ і γ.

Інжекція через точковий контакт

Рис. З. Схема установки для вимірювання часу життя (а), вид імпульсів напруги (б), осцилограма напруги (в)

Розглянуті вище методи виміру часу життя реалізуються для зразків правильної геометричної форми. В процесі виготовлення напівпровідникових матеріалів виникає завдання виміру часу життя безпосередньо на злитках. Такі виміри можна проводити методом, де на поверхню зразка (рис. 3, а) встановлюється точковий инжектирующий контакт 2. Через контакт пропускають імпульс струму з амплітудою І₀, який інжектує в зразок нерівноважні носії і змінює опір підконтактної області. Фіксують амплітуду U₁ напруги, що виникає на контакті імпульсу (рис. 3, б). Потім через проміжок часу Т після закінчення першого імпульсу пропускають другий імпульс струму з такою ж амплітудою І₀. Якщо Т ≤ τ, то до моменту приходу другого імпульсу під контактом є носії заряду, інжектовані першим імпульсом, і опір його менший, ніж у момент приходу першого імпульсу. Тому напруга U₂, що виникає у момент початку другого імпульсу, менше U1. Різниця U₁ — U₂ = f (Т, τ). Величину τ визначають із зіставлення експериментальної і теоретичної залежностей U₁ — U₂ від Т.

Дата добавления: 2014-01-05