Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема Куна-Таккера




1. Если – решение задачи выпуклого программирования, то найдется ненулевой вектор множителей Лагранжа , такой что для функции Лагранжа выполняются условия:

а) принцип минимума для функции Лагранжа

б) дополняющей нежесткости

в) неотрицательности

2. Если для допустимой точки выполнены условия а-в и , то .

3. Если для допустимой точки выполнены условия а-в и множество допустимых элементов удовлетворяет условию Слейтера, то .

Доказательство: Пусть . Не ограничивая общности, считаем, что . Положим

непустое выпуклое множество.

Действительно, , так как в определении можно положить .

Докажем выпуклость. Пусть . Так как , такие что

положим

.

Обозначим – открытый луч в пространстве . Ясно, что – непустое выпуклое множество. Покажем, что . Действительно, если бы существовала точка , то ввиду определения множества отсюда следовало бы, что имеется элемент , для которого выполняются неравенства . Но из этих неравенств следует, что для допустимой точки , т.е. . Получили противоречие с условием теоремы . Следовательно, .

По первой теореме отделимости множества можно отделить, т.е. существует вектор , для которого

Таким образом,

(*)

1. Условие неотрицательности. Так как любой вектор с неотрицательными компонентами принадлежит , то , где 1 стоит на i-ом месте i=0,…m. Подставив эту точку в (*) получим, что .

Условие дополняющей нежесткости. Нетрудно видеть, что . Действительно, возьмем в определении точку , тогда и нужные неравенства выполняются. Подставив эту точку в (*), имеем . Если , то, так как по уже доказанному условию неотрицательности , – это противоречит условию допустимости точки . Значит, .

Принцип максимума. Возьмем точку , тогда точка . Отсюда по неравенству (*)

так как положили и уже доказали условие дополнительной нежесткости .

2. Пусть для допустимой точки выполнены условия а-в и . Положим . Тогда для любой допустимой точки будет выполняться неравенство

т.е. .

3. Пусть для допустимой точки выполнены условия а-в и множество допустимых значений удовлетворяет условию Слейтера. Предположим при этом, что . Так как , то в силу условия неотрицательности существует . Следовательно,

Но это неравенство противоречит условию а. Значит, наше предположение не верно. Поэтому , и по доказанному п. 2 .

 





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 274; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.81.174.180
Генерация страницы за: 0.121 сек.