Простейшие следствия из аксиом

Линейные векторные пространства подробно изучаются в курсе высшей алгебры, поэтому их свойства будем считать известными. Рассмотрим свойства отношения f ₄, связывающего точки и векторы.

С₁. Точки А и В совпадают тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

1) Пусть А=В. Обозначим , , где С – произвольная точка. По аксиоме Т ₃ , т.е. , откуда следует, что , т.е. , или , или .

2) Пусть . Тогда по аксиоме Т ₂ из и следует, что А=В.

С₂. Если , то , т.е. .

Доказательство. Пусть , тогда по аксиоме Т ₃ , т.е. . Из равенства следует, что , т.е. .

С₃. Если В ¹ С, то .

Доказательство следует из аксиомы Т ₂.

С₄. Для любой точки В и любого вектора существует единственная точка А такая, что .

Доказательство. По аксиоме Т ₂ существует точка А такая, что . По следствию С₂ . Докажем единственность точки А. Допустим , тогда и . По аксиоме Т ₂ получим А=А ¢.

С₅. Если , то .

Доказательство. Применим аксиому Т ₃ к точкам А, В, С и В, С, D. Получим и . Так как , то =. Откуда по аксиоме Т ₃ следует .

Дата добавления: 2014-01-05