Взаимное расположение двух плоскостей

Упражнения для самостоятельной работы

Взаимное расположение двух прямых

Расположение прямых	Условия	Рисунок
s 1 s 2	линейно независимы
	линейно зависимы; линейно независимы
	линейно зависимы; линейно независимы; , линейно независимы
	, , линейно зависимы

Литература [1], № 129 – № 134.

Теорема 18.

Любые две непараллельные плоскости пересекаются по прямой.

Дано: , , s ₁ s ₂.

Доказать: .

Доказательство. 1) Докажем, что существует хотя бы одна общая точка плоскостей.

По аксиоме D₂ векторы – линейно зависимые. Но в трехмерном пространстве существует хотя бы одна линейно независимая тройка векторов или . Допустим, что обе тройки линейно зависимы, тогда один из векторов тройки линейно выражается через два других: векторы и через – базис плоскости s ₁, т.е. s ₁ || s ₂. получим противоречие с условием.

Допустим, что векторы , , линейно независимы (рис. 4.17), тогда – базис пространства и (по аксиоме D 2).

Обозначим , тогда Р Î s ₁ по определению плоскости. По аксиоме Т3 , откуда и , т.е. Р Î s ₂. Следовательно, Р Î s ₁Ç s ₂. Значит, плоскости s ₁ и s ₂ имеют хотя бы одну общую точку.

2) Докажем, что плоскости имеют хотя бы один общий направляющий вектор. По аксиоме D₂ существуют числа a ₁, b ₁, g ₁, d ₁, не все равные нулю одновременно, что выполняется условие . Рассмотрим вектор . Так как и линейно независимы, то . В противном случае a ₁= b ₁= g ₁= d ₁=0. Получили противоречие.

Рассмотрим прямую и докажем, что .

Пусть М Î s, тогда и (объясните, почему?).

Пусть и М Ï s, тогда через точку М и прямую s проходит единственная плоскость . Получили противоречие с условием. Следовательно, все общие точки плоскостей лежат на прямой s, т.е. .

Теорема доказана.

Полученные результаты сведем в таблицу.

Дата добавления: 2014-01-05