Длина вектора

Введение метрики

Метрика (измерение длин отрезков и величин углов) вводится с помощью аксиом скалярного произведения (метрической группы аксиом). Сначала вводится понятия длины (модуля) вектора и градусной меры угла, которые позволяют вычислять всевозможные расстояния и углы между прямыми и плоскостями.

Определение 15.

Длиной (модулем, абсолютной величиной) вектора называется число , где – скалярный квадрат вектора .

Свойства:

1. Для любого вектора , .

Доказательство. По аксиоме Е₄ , отсюда следует, что число всегда определено и . Так как по Е₄ , то .

2. Для любых векторов и верны соотношения:

(1)

(2)

Доказательство.

Если , то соотношения очевидны: , .

Пусть . Рассмотрим вектор , где х – произвольное ненулевое число (рис. 4.28).

Рассмотрим первое неравенство. По аксиоме Е₄ для любого числа х , т.е. . Так как , то неравенство справедливо при любых х, если выполняются условие: D £0. , . Откуда и .

Для второго неравенства получим:

(Объясните, почему верны эти требования). Отсюда

и .

Если || , то (докажите самостоятельно).

Определение 16.

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице, обозначается : .

Дата добавления: 2014-01-05