Расстояние между точками

Определение 17.

Расстоянием АВ между точками А и В называется число .

Докажем, что введение расстояния обладает всеми свойствами понятия расстояния, которое изучалось еще в школьном курсе геометрии.

Свойства:

Для любых точек А, В, С верны следующие соотношения:

1) АВ=ВА;

2) АВ ³0, (АВ =0) Û (А=В);

3) Если С | АВ, то АВ=АС+СВ;

4) АС £ АВ+ВС (неравенство треугольника).

Доказательство.

1) Так как , то .

2) АВ ³0 по определению;

по аксиоме Е ₄.

3) Пусть точка С лежит между точками А и В (рис. 4.29),

тогда (С | АВ) Û , 0< l <1.

по определению, ,

, , где 0<1– l <1.

Следовательно, .

4) Для любых точек А, В, С выполняется равенство (аксиома Т ₃). По неравенству (2) свойства 2 длины вектора . Отсюда следует, что АС £ АВ+ВС.

Дата добавления: 2014-01-05