Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Колебаний. Характеристики затухающих колебаний




Решение дифференциального уравнения затухающих

 

Строгий математический анализ уравнения (9.3) показывает, что его решение имеет вид гармонических колебаний при условии, когда потери энергии, характеризуемые коэффициентом затухания , не превышают критического значения , равного частоте собственных колебаний , т. е.

. (10.1)

 

При выполнении этого условия общее решение дифференциального уравнения (9.3) можно записать следующим образом:

 

, (10.2)

 

где . Из (10.2) можно сделать следующие выводы:

1) при наличии в колебательной системе потерь в ней будут происходить гармонические колебания, амплитуда которых уменьшается по экспоненциальному закону:

 

, (10.3)

 

2) частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний при отсутствии трения:

. (10.4)

 

Так же, как и в случае незатухающих колебаний, начальные амплитуда и фаза определяются начальными условиями. График затухающих колебаний изображен на рисунке 10.1.

Из (10.4) следует, что период затухающих колебаний

 

. (10.5)

 

Величина, обратная коэффициенту затухания , называется временем релаксации :

. (10.6)

 

Если в выражение (10.3) подставить момент времени , то амплитуда затухающих колебаний будет равна . Отсюда становится ясным физический смысл времени релаксации: время релаксации – это время, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается ве раз.

Натуральный логарифм отношения амплитуды колебаний в произвольный момент времени к амплитуде колебаний в момент времени , т. е. спустя период колебаний , называется логарифмическим декрементом затухания :

 

. (10.7)

 

Из определения следует, что логарифмический декремент затухания есть величина безразмерная. Подставляя в (10.7) амплитуды колебаний из (10.3), получим

 

. (10.8)

 

Так как , то величина характеризует число колебаний , происходящих за время релаксации . Поэтому декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, происходящих за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз:

 

. (10.9)

 

Для характеристики потерь в колебательной системе вводится еще одна важная характеристика, называемая добротностью. Добротностью колебательной системы называется отношение полной энергии колебаний в произвольный момент времени к потерям энергии за последующий период, умноженное на :

 

, (10.10)

 

где .

Из формулы (10.10) следует, что добротность также является безразмерной величиной. В случае малых потерь добротность связана с декрементом затухания соотношением



 

. (10.11)

 

Как видно из выражений (10.4), (10.5), при увеличении потерь частота затухающих колебаний уменьшается, а их период соответственно увеличивается. При достижении критических потерь частота равна нулю, а период – бесконечности. Это означает, что колебания в системе отсутствуют, процесс становится апериодическим и имеет, в зависимости от начальных условий, один из изображенных на рисунке 10.2 видов.

 





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1013; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.162.19.123
Генерация страницы за: 0.095 сек.