КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Операторы Гамильтона и Лапласа
Под оператором понимается некоторое правило или последовательность действий, в результате применения которых к функции она преобразуется в новую функцию . Если обозначить оператор буквой L, то его действие на функцию символически записывают следующим образом:
. (35.1)
Примером оператора является так называемый "дифференциальный оператор" . Действие данного оператора на какую-либо функцию сводится к взятию производной этой функции, т. е. . Например, если , то . В теории поля часто используется оператор Гамильтона, который принято обозначать как (читается – "набла"). Этот дифференциальный оператор имеет следующий вид:
, (35.2)
где – орты координатных осей. В результате действия оператора Гамильтона на функцию получается новая векторная функция , причем проекции вектора в каждой точке с координатами равны частным производным от исходной функции по соответствующей координате:
. (35.3)
Оператор Гамильтона можно представить в виде символического вектора, "проекциями" которого на координатные оси является оператор дифференцирования по соответствующей координате. Такое представление оператора с учетом правил векторной алгебры делает более удобным его использование в математических выкладках. Пример 1 Умножение вектора на число k сводится, как известно, к умножению проекций этого вектора на k. Тогда выражение (35.3) можно представить как результат умножения "вектора" на "число" f. При этом "умножение" означает подстановку функции f в дифференциальный оператор. Правая часть выражения (35.3) есть градиент функции f, поэтому можно записать
. (35.4)
В частности, если под функцией f понимать потенциал электрического поля, то связь напряженности с потенциалом можно выразить следующим образом:
. (35.5)
Пример 2 Скалярное произведение векторов и равно . С учетом этого дивергенцию вектора можно представить как скалярное произведение векторов и , т. е. . (35.6)
Пример 3 Векторное произведение векторов выражается определителем третьего порядка .
Легко показать, что ротор вектора , определяемый выражением (34.3), можно представить в виде векторного произведения и : . (35.7)
Пример 4 Если оператор Гамильтона "умножить" скалярно сам на себя, то получится новый оператор, называемый оператором Лапласа:
. (35.8)
Используя оператор Лапласа, волновое уравнение (25.2) можно записать в следующем виде: . (35.9)
Пример 5 Составим двойное векторное произведение оператора Гамильтона и вектора : .
Из примера 3 следует, что его можно представить как ротор ротора вектора , т. е. . Для двойного векторного произведения справедливо равенство . С учетом этого можно записать
.
Используя рассмотренные выше примеры, получим
,
,
и окончательно можно записать
. (35.10)
Полученное выражение потребуется в дальнейшем для анализа уравнений Максвелла.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 909; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |