Следовательно, заряды движутся настолько медленно, что за время собственного запаздывания конфигурация зарядов не успевает заметно изменится

.

Членами будем пренебрегать при условии, что .

Будем называть излучением ту часть электромагнитной энергии, которая переносится на большие расстояния (пространственная бесконечность). Другую часть электромагнитного поля можно назвать пульсацией электромагнитного поля. Излучаемую системой энергию описывают с помощью вектора Пойнтинга:

, (13.1)

который характеризует плотность потока излучения. Модуль вектора Пойнтинга -количество электромагнитной энергии, проходящей через единицу площади за единицу времени.

Интенсивность излучения (поток электромагнитной энергии) в элемент телесного угла

, . (13.2)

Тогда , где . Так как , то . Окончательно получим

(13.3)

Таким образом, - количество энергии, протекающей за единицу времени через элемент шаровой поверхности с центром в начале координат.

Рассмотрим запаздывающие потенциалы:

, (13.4)

. (13.5)

Пусть a – характерный размер системы. Рассмотрим поле на больших расстояниях . Тогда - естественный малый параметр. Получим

, (13.6)

. (13.6)

Отсюда следует

, (13.7)

, . (13.8)

Полное время запаздывания представлено в виде:

. (13.9)

Величина - время запаздывания системы, т.е. время распространения электромагнитной волны из начала координат до точки наблюдения . Второй член в разложении (13.9): - собственное (локальное) время запаздывания. По порядку величины оно совпадает с характерным временем распространения электромагнитной волны в пределах системы. В электростатике () имеем: . В нашем случае: . Введём собственное время запаздывания и . Тогда получим:

. (13.10)

Для сходимости ряда (13.10) необходимо выполнение условия , в частности, . Введем период (квазипериод) движения зарядов T. Тогда: , и Длина волны: , , и, следовательно, или . С другой стороны, скорость движения зарядов т.е.

. (13.11)

При таком условии ряд (13.10) сходится, т.е. имеет место как разложение в ряд, так и разложение:

. (13.12).

Проинтегрируем сходящиеся ряды (13.10) и (13.12):

{

+}, (13.13)

. (13.14)

Тогда: , где

, , ,

.

Здесь заменено . Слагаемое не может быть изучением, и его отбросим, - отвечает электрическому дипольному излучению (E₁), - магнитному излучению (M₁), - электрическому квадрупольному излучению (E₂).

Соответственно, для векторного потенциала имеем:

,

где

, ,

, .

Здесь проведена операция симметризации. Сумма:

.

Слагаемое описывает электрическое дипольное излучение (E₁), - магнитное излучение (M₁), - электрическое квадрупольное излучение (E₂). Названия членов разложения будет выяснено позже.

Возможны три области, в которых справедливы разложения (13.10) и (13.12).

1. Ближняя (статическая) зона: .

2. Промежуточная (индукционная) зона: .

3. Дальняя (волновая) зона: .

В ближней зоне поле имеет статический характер, оно пропорционально и не представляет для нас особого интереса. В дальней зоне поле носит волновой характер, т.е. пропорционально .

1.14. Излучение в электрическом дипольном приближении(E1).

Рассмотрим члены разложения:

, (14.1)

(14.2)

и уравнение непрерывности:

. (14.3)

Дипольный электрический момент системы:

.

Тогда

(14.4)

и потенциал

. (14.5)

С учетом (14.3) получим из (14.4):

. (14.6)

Умножим на произвольный постоянный вектор :

=

=.

Здесь учтено, что

, т.к. .

Таким образом, получим

. (14.7)

Тогда

, . (14.8)

Это потенциалы электрического дипольного приближения (E1). В выражения (14.8) входит дипольный момент системы. Этим объясняется название рассматриваемого приближения.

Найдём значения электрической и магнитной составляющих поля в электрическом дипольном приближении. Напряженность магнитной составляющей поля:

=, где .

+ = =

=+.

Окончательно получим:

+. (14.9)

Вторым слагаемым в (14.9) можно пренебречь, т.к. эта часть поля не в состоянии перенести энергию от источника в пространственную бесконечность. Действительно, если положить , то

~ =~.

В волновой зоне << 1 и поэтому последним членом можно пренебречь.

Напряженность электрической составляющей поля:

= .

Так как , то . Здесь учтено, что . Тогда

. (14.10)

Таким образом, в электрическом дипольном приближении имеем

(14.11)

Из (14.11) следует, что

. (14.12)

В волновой зоне имеют место следующие соотношения:

, , , , .

Волновой фронт поля излучения сферический. Действительно,

или

. (14.13)

Последнее выражение есть уравнение сферы, радиус которой растет со временем. Если при радиус сферы равен r, то в произвольный момент времени t радиус сферы станет равным .

Поле излучения представляет собой сферическую электромагнитную волну, электрическая и магнитная напряженности которой с ростом убывают как .

В волновой зоне

Тогда

==

= = = .

С учетом (14.11) получим

, (14.14)

где - количество электромагнитной энергии, протекающей за единицу времени в единицу телесного угла. Очевидно, что

.

Вектор Пойнтинга:

,

или

=. (14.15)

Энергия излучается по направлениям неодинаково. Максимальное значение электромагнитной энергии излучается в экваториальной плоскости, т.е. при .

Диаграмма направленности излучения представлена на рисунке.

Найдем полную интенсивность:

= =

Окончательно получим

. (14.16)

Рассмотрим излучение одиночного заряда . Дипольный момент системы зарядов

.

Если в систему входит только один заряд, то . Тогда , где - ускорение заряда. Следовательно, полная интенсивность излучения движущейся заряженной частицы:

. (14.17)

Вектор Пойнтинга, определяющий плотность потока энергии излучения:

. (14.18)

Так как , то при заряд не излучает.

Таким образом, заряженная частица, которая движется ускоренно, излучает. При рассмотрении задачи об излучении движущегося заряда мы пользовались формулами, которыми фактически пользоваться нельзя, так как теряется смысл времени собственного запаздывания. Поэтому надо воспользоваться точным решением – потенциалами Лиенара – Вихерта. Можно показать, что при точном рассмотрении задачи получатся те же результаты (14.17), (14.18).

1.15. Магнитное дипольное (М1) и электрическое квадрупольное излучения (Е2).

Рассмотрим члены магнитного дипольного приближения (М1):

,, (15.1)

, (15.2)

Тогда

, (15.3)

где магнитный момент системы:

Напряженности электрической и магнитной составляющих поля:

(15.4)

=, где .

Окончательно получим:

. (15.5)

Таким образом,

(15.6)

Все формулы для магнитного дипольного излучения (М1) могут быть получены из формул для электрического дипольного излучения (Е1) заменами:

, , .

Вектора , и образуют правую тройку.

Интенсивность излучения в единицу телесного угла:

= =~ .

Полная интенсивность:

=. (15.7)

Сравним интенсивности электрического дипольного и магнитного дипольного излучения: = . Положим,. Тогда: , . Оценим электрический и дипольный моменты:

,

.

Таким образом,

~ .

Рассмотрим следующие слагаемые, отвечающие за электрическое квадрупольное излучение (E2):

, (15.8)

. (15.9)

Следовательно

, где

Учтем, что , .

Тогда: ==.

Здесь введен электрический квадрупольный момент системы:

=, (15.10)

, т.е. .

Из (15.8) следует:

. (15.11)

Рассмотрим

==

-= -.

Учтём, что =. Тогда получим

.

Так как =, ,, , то

(15.12)

Из (15.9) с учетом (15.12) получим:

. (15.13)

Выражение (15.13) можно переписать в векторной форме

,

где - орт β – ой координаты. Если ввести вектор с координатами , то получим:

(15.14)

Введем приведенный квадрупольный момент

= . (15.15)

В формулах (15.14) можно вместо поставить . Это можно осуществить, если выбрать новую калибровку:

(15.16)

где .

Окончательно получим:

(15.17)

Здесь учтено, что

Найдем напряженность ‘электрической и магнитной составляющих поля излучения в электрическом квадрупольном приближении (Е2):

Тогда:

(15.18)

Интенсивность излучения в единицу телесного угла:

= =. (15.19)

Здесь использована формула Лапласа:

,

или . Перепишем формулу (15.19) в тензорных обозначениях:

. (15.20)

Вычислим полную интенсивность излучения:

.

Согласно задаче №1.14 из методического пособия (Буйнов Н. С., Адаменко П. Г. Задачи по курсу «Электродинамика». Витебск: ВГУ, 2000 г.) имеем следующие соотношения:

(15.21)

Тогда:

. (15.22)

С учетом соотношений

,

(так как ),

получим из (15.22):

. (15.23)

Проведем оценки полных интенсивностей излучения. Интенсивность электрического квадрупольного излучения (E2):

.

Интенсивность магнитного дипольного приближения (М1):

.

Следовательно, в волновой зоне () имеем:

~

1.16. Сила радиационного (лучистого) трения.

Частица, двигаясь ускоренно, излучает электромагнитную энергию. Это приводит к потере импульса частицей и означает, что на частицу со стороны электромагнитного поля действует некоторая сила, получившая название силы радиационного (лучистого) трения. Само явление называется реакцией излучения. Таким образом, корректная постановка задачи о движении заряженной частицы требует включения в уравнения движения членов, учитывающих влияние излучения на движение частицы.

Рассмотрим движение нерелятивистской частицы под действием внешней силы . Для учета влияния радиационного трения добавим в уравнение движения силу радиационного трения . Тогда

, (16.1)

где . Так как полная энергия системы (электромагнитное поле + частица)

,

то

, (16.2)

где кинетическая энергия частицы . Изменение энергии поля связано с работой силы радиационного трения , т.е.

. (16.3)

Излучаемая частицей в единицу времени энергия

должна компенсировать работу силы радиационного трения . Однако, такая форма записи баланса энергии

= (16.4)

не верна из-за того, что и заданы в разные моменты времени. Действительно, ускорение частицы через некоторый промежуток времени приводит к новому значению скорости .

Пусть частица совершает периодическое или квазипериодическое движение с периодом T. За период движения работа силы радиационного трения должна быть равной излученной энергии, т.е.

===

=.

Здесь учтено, что и . Таким образом, имеем

=. (16.5)

В качестве силы радиационного трения можно выбрать

= =. (16.6)

Конечно из (16.5) следует, что в выражение (16.6) можно добавить слагаемое , где и - произвольные постоянные скаляр и вектор. Оно не изменит закон сохранения энергии.

Уравнение движения частицы принимает вид:

. (16.7)

С учетом того, что , получим

, (16.8)

где - характерное время. Модифицированное уравнение движения (16.8) называют уравнением Абрагама – Лоренца. Это уравнение третьего порядка и для его решения необходимо задать .

Пусть внешняя сила отсутствует (=0), точнее надо писать >>. Тогда

или . (16.9)

Характеристическое уравнение для (16.9):

имеет решения . Следовательно,

, (16.10)

. (16.11)

Здесь - произвольные постоянные вектора. Выражение (16.11) содержит абсурдное решение, когда в отсутствии внешних сил частица неограниченно ускоряется со временем. Поэтому необходимо выбрать , т.е. положить и ускорение . Таким образом, случай >>не может иметь места.

Можно считать выполнение условия <<критерием применимости уравнения (16.8). Если внешняя сила меняется периодически =, то сила радиационного трения для электрона (q = e):

= =.

Тогда из условия <<или , следует . Последнее условие можно переписать в виде: << ~. Классический радиус электрона =имеет порядок 10^-13 см. Таким образом, критерий применимости сводится к условию <<. Оно выполняется для всех частот оптического и рентгеновского диапазона. Нарушается условие <<только для - излучения.

1.17. Рассеяние электромагнитных волн на зарядах.

Рассмотрим систему заряженных частиц, на которую падает электромагнитная волна. Поле волны раскачивает заряды, и система излучает во все стороны. Об этом излучении говорят как о рассеянии падающей электромагнитной волны.

Уравнение движения заряженной частицы запишем в виде:

. (17.1)

Так как в электромагнитной волне , то второе слагаемое в правой части уравнения (17.1), которое пропорционально , мало по сравнению с первым слагаемым и может быть отброшено. В уравнении (17.1) также не учтено слагаемое, обусловленное реакцией излучения. Оно, как и второе слагаемое, при необходимости может быть учтено методом последовательных приближений. Таким образом, приближенное уравнение движения принимает вид:

. (17.2)

Найдем полную интенсивность рассеянного излучения

= ,

и, окончательно, получим

. (17.3)

Здесь черта означает усреднение по времени.

Интенсивность рассеянного излучения в единицу телесного угла:

=,

или

. (17.4)

Рассеяние удобно характеризовать отношением количества энергии, испускаемой рассеивающей системой в данном направлении в единицу времени, к плотности потока энергии падающей на систему электромагнитной волны.

Введем эффективное дифференциальное сечение рассеяния:

,: (17.5)

где - интенсивность рассеянного излучения в телесный угол , -плотность падающего излучения. Все входящие в выражение (17.5) величины усреднены по времени. Величина имеет размерность площади.

Полное сечение рассеяния:

. (17.6)

Можно сделать введенные характеристики рассеяния более наглядными, если рассматривать падающее и рассеянное излучение как поток фотонов– квантов света. Пусть - число фотонов, падающих на единичную площадку, поперечную потоку падающих фотонов; - число рассеянных фотонов. Их размерности: , . Тогда:

== ,

== ,

где - число рассеянных фотонов в телесный угол . Поэтому - имеет смысл эффективного поперечного сечения рассеяния.

Рассмотрим рассеяние на свободных (несвязанных) электронах, т.е. . Тогда

= =

Введем классический радиус электрона =и выражение для полного сечения рассеяния электрона примет следующий вид

= . (17.7)

Выражение (17.7) получило название формулы Томсона, согласно которой полное сечение рассеяния электрона совпадает с площадью круга с радиусом порядка классического радиуса электрона.

Для эффективного дифференциального сечения рассеяния получим:

=,

или

. (17.8)

Классический результат Томсона оправдан только для низких частот, когда или . Для длины волны критерий применимости формулы Томсона:.

Дата добавления: 2014-01-05