Дискретний розподіл Пуассона

Цей розподіл також часто застосовується в теорії надійності для характеристики ймовірності відмов. Дискретним розподілом Пуассона описується неперервна випадкова величина Х, яка може приймати тільки цілі, невід'ємні значення: 0, 1, 2,..., m, …, причому ця послідовність теоретично є необмеженою.

Вважається, що випадкова величина Х розподілена за законом Пуассона, якщо ймовірність того, що вона прийме певне значення m дається формулою:

, (7.60)

де а – додатна величина, яка називається параметром закону Пуассона;

m – кількість випробувань.

Не важко показати, що послідовність ймовірностей (7.60) є закон розподілу [4], сума всіх ймовірностей P_m дорівнює одиниці:

(7.61)

Отже диференціальна функція щільності розподілу Пуассона дається формулою:

, (7.62)

а інтегральна функція має вид:

(7.63)

На рис. 7.14 показані графіки дискретного закону Пуассона (ф.7.60), які відповідають різним значенням параметру а.

Рис.7.14. Дискретний розподіл Пуассона На графіках позначено: Pm,0 – параметр a = 0,5; Pm,1 – параметр a = 1,0; Pm,2 – параметр a = 2,0; Pm,3 – параметр a = 3,5;

Як що в формулі (7.60) покласти , де l - інтенсивність течії випадкових k подій (k<<m) в одиницю часу, то розподіл Пуассона буде описуватися приблизною асимптотичною формулою:

(7.64)

де k – кількість незалежних очікуваних подій.

Формула Пуассона (7.64) застосовується до дискретного ряду m незалежних величин, у якому ймовірність появи k із них є малою. Формула є приблизною. Вона буде тим точнішою, чим більшою буде кількість випробувань. Цим пояснюється те, що формула називається асимптотичною. Для спрощення запису в формулі (7.64) часто ставлять знак рівняння.

Математичне сподівання закону розподілу Пуассона:

(7.65)

Дисперсія розподілу дорівнює його параметру:

(7.66)

Дата добавления: 2014-01-05