Линейные функции

Рассмотрим линейные функции, с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представ­лений, формируемых в курсе алгебры.

Первоначальное представление о линейной функции выделяет­ся из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным пря­молинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Рассмотрим второй из этих источников. Основ­ная мысль, которую мы попытаемся обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.

Для этого рассмотрим два приема построения графиков линейной функции.

Первый способ. Использование «загущения» точек на графике на котором показана последовательность действий по этому приему: а) нанесение нескольких точек; б) на­блюдение — все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой; в) проверка: берем произвольное значениеаргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она принадлежит построенной прямой). Отсюда делается вывод о графике данной линейной функции. Этот способ безусловно может привести к пониманию того; что график и любой линейной функции — прямая, т. е. к выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных примеров

В т о рой с п о с о б. По двум точкам. Этот способ уже пред­полагает знание соответствующе­го свойства графиков линейных функций. Выявления новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточивается на конкрет­ной функции из класса. Заметим, что в обучении происходит по­следовательная смена этих способов: когда общее свойство графи­ков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают при­менять второй — он экономнее и обоснован геометрически, по­скольку через две точки проходит одна и только одна прямая. Для того чтобы изучить класс линейных функции в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать класс функций y = kx+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл па­раметров. Эта задача возникает сразу же вслед за введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связен между ними. Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснения геометрического смысла коэффици­ентов при переменной.

Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) об­разуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой коэффициент» и привести несколько закрепляю­щих упражнений.

Значительные трудности представляет случай отрицательных значений углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная аналогичным образом.

Если параметры, определяющие класс функций, имеют ясный геометрический смысл, то описанный прием изучения дает достаточно полное представление об этом классе. Однако в школьном курсе алгебры рассматриваются и такие классы, при изучении которых оказывается необходимым использовать и другие приемы.

Дата добавления: 2014-01-05