Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными

Совместность систем линейных уравнений.

Назовем расширенной матрицей системы (1) матрицу

Теорема Кронекера - Капелли. Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:

.

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(3)

Теорема Крамера. Если главный определитель системы (3) , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

т.е. ,

где - определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов.

Если , а хотя бы один из ≠0, то система решений не имеет.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Систему (3) можно решить, используя ее матричную форму записи (2). Если ранг матрицы А равен n, т.е. , то матрица А имеет обратную . Умножив матричное уравнение на матрицу слева, получим:

.

Последнее равенство выражает способ решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пример. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение. Матрица невырожденная, так как , значит, существует обратная матрица. Вычислим обратную матрицу:.

Тогда

,

т.е. .

Задание. Решить систему методом Крамера.

Дата добавления: 2014-01-05