Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном СКО

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально,причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно. Требуетсяоценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней .Поставим своей задачейнайти доверительные интервалы,покрывающие параметр с надежностью .

Будем рассматривать выборочную среднюю как слу­чайную величину ( изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака —как одинаково распределенные независимые случайные вели­чины (эти числа также изменяются от выборки к выборке).Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно и среднее квадратическое отклонение —

Примем без доказательства, чтоесли случайная вели­чина X распределена нормально,то выборочная средняя , найденная по независимым наблюдениям,также рас­пределена нормально.Параметры распределения определяются формулами по вычислению МОЖ и СКО для одинаково распределённых взаимно независимых случайных величин:

(4.5)

Потребуем, чтобывыполнялось соотношение

(4.6)

где — заданная надежность (доверительная вероятность).

Пользуясь формулой вычисления вероятности заданного отклонения для нормально распределённой случайной величины, а именно:

(4.7)

заменив X на и на , получим

(4.8)

где

Найдя из последнего равенства , можем за­писать

(4.9)

Приняв во внимание, чтовероятность Р задана и равна окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через х)

(4.10)

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр ; точность оценки .

И так, поставленная выше задача полностью решена.Укажем еще, чточисло t определяется из равенства 2Ф ( t) = , или Ф(t) = / 2; по таблице функции Лапласа находят аргумент t, которому соот­ветствует значение функции Лапласа, равное /2.

Замечание 1. Оценку называютклассиче­ской.Из формулы , определяющей точность классической оценки,можно сделать следующие выводы:

1) при возрастании объема выборки « n» число убывает и, следо­вательно, точность оценки увеличивается;

2) увеличение надежности оценки = 2Ф ( t) приводит к увеличе­нию t

(Ф (t) — возрастающая функция),следовательно, и к возраста­нию ; другими словами,увеличение надежности классической оценки влечет за собой уменьшение ее точности.

Замечание 2.

Если требуется оценить математическое ожидание с заранее заданной точностью и надёжностью , то минимальный объём выборки, который обеспечит точность, находят по формуле:

(4.11)

Формула (4.11) является следствием, используемого выше равенства:

Дата добавления: 2014-01-05