Двоичная арифметика

Перевод неправильных дробей

Перевод правильных дробей

Перевод целых чисел

Для перевода целого числа из S-й системы счисления в систему счисления с основанием q надо переводимое число последовательно делить на основание q-й системы счисле­ния, в которую это число переводится, до тех пор, пока не будет получено частное, меньше основания q. Число в новой системе счисления запишется в виде остатков от деления, на­чиная с последнего частного, представляющего собой стар­шую цифру числа.

Пример 1. Переведем число 976 из десятичной си­стемы счисления в двоичную систему счисления (976₍₁₀₎→ X₍₂₎)

976 2

976 488 2

0 488 244 2

0 244 122 2

0 122 61 2

0 60 30 2

1 30 15 2

0 14 7 2

1 6 3 2

1 2 1

976₍₁₀₎=1111010000₍₂₎

Пример 2. Переве­дем число 342 из десятич­ной системы счисления в восьмеричную систему счис­ления (342(10) →X₍₈₎):

342 8

336 42 8

6 40 5

342₍₁₀₎→526₍₈₎

Пример 3. Переведём число 859₍₁₀₎→ X₍₁₆₎

859 16

848 53 16

11 48 3

859₍₁₀₎→35B₍₁₆₎

Для перевода правильных дробей в систему счисления с основание q умножают исходную дробь (а дальше только дробные части произведения, выделяя целые части) после­довательно на основание системы счисления q. Полученные в результате умножения целые части произведения явля­ются соответствующими разрядами дробного числа в систе­ме счисления с основанием q.

Пример 2.4. Переведем число 0,27₍₁₀₎→X₍₁₆₎:

0, 27

4 32

5 12

1 92

14 72

0,27₍₁₀₎→451E₍₁₆₎

Перевод неправильных дробей в систему счисления с ос­нованием q выполняется отдельно для целой и дробной ча­стей числа по вышеизложенным правилам с последующим соединением этих частей в одну неправильную дробь, пред­ставленную уже в новой системе счисления.

Пример 2.6. Переведем число 176,325(10)→X₍₈₎

176 8 0, 325

176 22 8 8

0 16 2 2 600

6 8

4 800

6 400

3 200

176.325₍₁₀₎→260.2463₍₈₎

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умно­жения:

Двоичные операции

сложение	вычитание	умножение
0+0=0	0-0=0	0х0=0
0+1=1	1-0=1	0х1=0
1+0=1	1-1=0	1х0=0
1+1=0+ед.переноса	10-1=1	1х1=1

Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны. При сложении в каждом разряде в соответствии с таблицей двоичного сложения производится сложение двух цифр слагаемых или двух этих цифр и 1, если имеется перенос из соседнего младшего разряда. В ре­зультате получается цифра соответствующего разряда суммы и, воз­можно, также 1 переноса в старший разряд. Приведем пример сложе­ния двух двоичных чисел:

Переносы

110111.01 55.25

+ 10011.10 + 19.5

1001010.11 74.75

Справа показано сложение тех же чисел, представленных в десятичной системе.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из следующего старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда. Заем производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Поясним сказанное примером:

11011,10

1101,01

1110,01

Умножение двоичных многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирова­ния. В соответствии с таблицей двоичного умножения каждое частич­ное произведение равно 0, если в соответствующем разряде множителя стоит 0, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит 1. Таким образом, операция умножения многоразрядных двоичных чисел сводится к опе­рациям сдвига и сложения. Положение запятой определяется так же, как при умножении десятичных чисел. Сказанное поясняется приме­ром:

1011,1 х 101,01 = 111100,011

^х 10101

+ 10111

10111____

Особенности выполнения деления двоичных чисел поясняются следующим примером:

1100,011:10,01 =? 1100011 | 10010

- 10010 101,1

- 10010

- 10010

Благодаря простоте правил двоичного сложения, вычитания и ум­ножения применение в ЭВМ двоичной системы счисления позволяет упростить схемы устройств, выполняющих арифметические операции.

Дата добавления: 2014-01-05