Геометрическое определение вероятности

Если пространство элементарных исходов W содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры события А к мере пространства элементарных исходов W.

Под мерой понимается:

· в одномерном пространстве – длина;

· в двумерном пространстве – площадь;

· в трехмерном пространстве – объем.

Таким образом, геометрическая вероятность означает, что:

P(A) = mes(A) / mes(W) = | A | / | W |. (3)

Бросание монеты на стол (босяцкая французская забава)

Стол разграфлен на квадраты со стороной A и на него игрок бросает монету диаметром d (d < A). Если монета пересекает хотя бы одну из линий, то игрок ее проигрывает. Какова вероятность выигрыша игрока?

Легко видеть, что игрок выигрывает, если центр монеты попадает во внутрь квадрата со стороной B = A – d. Вероятность этого события равна:

P = B ² / A ² = (A – d)² / A ² = (1 – d / A)².

Для равенства шансов выиграть/проиграть необходимо чтобы:

(1 – d / A)² = 0,5; 1 – d / A = √2/2; d / A = 1–√2/2; d = (1–√2/2)× A ≈ 0,2929× A.

Игла де Бюффона

Стол разграфлен параллельными линиями на расстоянии 2× A и на него бросается игла длиной 2× L (L < A). Какова вероятность события B, означающего, что игла пересечет какую-либо линию?

Положение иглы можно характеризовать следующими двумя параметрами:

х – расстояние от центра иглы до ближайшей линии;

φ – угол между осью иглы и направлением линий.

Случайный характер положения иглы означает, что параметр х может равновероятно принимать любые значения от 0 до A независимо от параметра φ, который может равновероятно принимать любые значения от 0 до p. Тогда пространство элементарных исходов можно представить прямоугольником со сторонами A и p, а событие B – областью под кривой:

| W | = A × p; x ≤ L ×sin(φ); | B | = = – L ×cos(φ)= – L ×[–1 – 1] = 2× L.

Т.о., вероятность пересечения иглы с одной из линий равна: P(A) = | B | / | W | = 2× L / (A × p).

Иногда вместо геометрических мер (длина, площадь или объем) приходится использовать временные интервалы с теми же идеями, что и в задачах о геометрической вероятности.

Задача о встрече

Пусть два человека обедают в столовой с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает не более 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x – время прихода первого в столовую, а y – время прихода второго (12 ≤ x, y ≤ 13).

Пространство элементарных исходов W можно представить множеством точек квадрата, стороны которого лежат на координатных осях. Начало координат соответствует времени 12 часов, а стороны квадрата простираются по координатным осям до точки, соответствующей времени 13 часов.

Очевидно, что встреча обедающих состоится только при условии их появления в столовой, с разностью во времен не более 10 минут. При этом возможны следующие три случая:

1. Первый и второй пришли одновременно: y – x = 0 (точки на прямой линии y = x).

2. Первый пришел раньше второго: y – x £ 1/6 (область с горизонтальной штриховкой).

3. Второй пришел раньше первого: x – y £ 1/6 (область с вертикальной штриховкой).

Легко видеть, что искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области к площади квадрата. Площадь квадрата равна единице, а площадь заштрихованной области можно определить как разность между площадью единичного квадрата и суммой площадей двух угловых треугольников (они составляют квадрат со стороной равной 5/6):

P = 1 – (5/6)×(5/6) = 1 – (25/36) = 11/36.

Дата добавления: 2014-01-05