П. 2. Предел функции многих переменных. Двойной и повторный пределы. Непрерывность функции многих переменных

Определение 1 (предела функции на языке ).

Пусть точка - точка сгущения множества (не обязательно !). Пусть лишь только . Тогда говорят, что в точке существует предел и он равен :

Определение 2. Говорят, что последовательность точек сходится к числу при (обозначим ), если при .

Очевидно, можно записать и так:

при если .

Определение 3 (предела на языке последовательностей).

Пусть точка - точка сгущения множества (не обязательно !). Пусть выполнено . Тогда говорят, что

Можно доказать, что два определения предела (определения 1 и 3) эквивалентны.

Выше рассмотрен предел функции при одновременном стремлении независимых переменных к их пределам. Такой предел называется - кратным (или двойным, тройным и т.д. при ).

Можно рассматривать и пределы, получаемые в результате нескольких последовательных переходов по каждой переменной в отдельности, в том или ином порядке. Такие пределы называются повторными.

Пример. Рассмотрим повторные пределы функции при

Имеем:

Видим, что

Пусть функция определена в области ). Пусть для любого фиксированного из существует предел

и для любого фиксированного из существует предел

Рассмотрим пределы

Справедлива следующая теорема.

Теорема (о повторных пределах, без доказательства). Пусть

1. Функция определена в области , ,

2. Существует (конечный или нет) двойной предел (3):

3. существует конечный простой предел по

Тогда существует повторный предел (2)

и он равен двойному (= C).

Следствия.

1. Если, кроме 1. и 2., существует конечный предел по то существует и второй повторный предел

и он тоже равен C.

2. Если повторные пределы (1), (2) существуют, конечны, но не равны между собой, то двойной предел (3) не существует.

Замечание. Может оказаться, что двойной предел существует, а повторный – нет. Например,

но повторный предел не существует.

Определение 4. Функция называется бесконечно малой при если

Определение 5. Бесконечно малая называется бесконечно малой более высокого порядка малости при чем бесконечно малая если

Пусть множество является областью определения функции – внутренняя точка множества .

Определение 6. Функция называется непрерывной в точке , если

1) существует

2)

Определение 7 (непрерывности на языке ).

Функция называется непрерывной в точке , если

лишь только .

Определение 8 (непрерывности на языке последовательностей).

Функция называется непрерывной в точке, если

выполнено .

Определение 9 (непрерывности на языке приращений).

Пусть - приращение функции :Пусть выполнено

Тогда функцияназывается непрерывной в точке

Замечание. Рассмотрим функцию . Фиксируем все переменные, кроме одной, например, переменной : . Получим функцию одной переменной : , .). Если окажется, что построенная функция в точке непрерывна, то говорят, что функция непрерывна по переменной в точке (, .

Очевидно, что, если функция непрерывна по совокупности переменных в точке (), то она непрерывна по каждой переменной в отдельности в этой точке.

Обратное, вообще говоря, неверно. Может оказаться, что функция непрерывна в точке по каждой переменной в отдельности, но не является непрерывной по совокупности переменных.

Пример. Рассмотрим функцию

Здесь

при при

Следовательно, функция является непрерывной по каждой переменной в отдельности в точке , но она не является непрерывной по совокупности переменных в этой точке, так как двойной предел функции в этой точке не существует.

Определение 10. Функция называется равномерно непрерывной на множестве

если таких, что :

.

Запишем определение частных производных для случая двух переменных x, y:

.

Замечания.

1. Из существования частных производных в точке, вообще говоря, не следует непрерывность функции в данной точке. Рассмотрим, например, функцию

:

Эта функция обладает частными производными по переменным x, y в точке

но, тем не менее, не является непрерывной в этой точке (докажите это!).

2. Из непрерывности функции в точке, вообще говоря, не следует существование частных производных в этой точке. Например, функция является непрерывной в точке , но частные производные этой функции не существуют в точке

3. Частная производная функции по переменной в точке является обычной производной функции одной переменной по переменной

Рассмотрим геометрический смысл частной производной. Рассмотрим случай функции двух переменных: Это уравнение описывает в трехмерном пространстве поверхность . Пусть точка (принадлежит области определения функции Построим плоскость , проходящую через точку (параллельно плоскости . Обозначим линию пересечения плоскости и поверхности символом : . Построим прямую - касательную к кривой . Обозначим через угол между прямой и плоскостью Тогда

Дата добавления: 2014-01-05