Теоремы сложения и умножения вероятностей

Центральная предельная теорема и ее следствие

Закон больших чисел

Связь числовых характеристик и параметров типичных распределений

Распределение	Параметры	Формулы	Mx	Dx
Равномерное	a, b	f(х) = 1 / (b – a)	(b + a) / 2	(b – a)^2 / 12
Нормальное	m, σ	f(х) = (2×π×σ)^–1/2×exp[–(x – m)^2/2×σ^2)	m	σ^2
Бернулли	n, p	Pn(k) = C^kn×p^k×q^n^–k	n×p	n×p×q
Пуассона	λ	P(k) = λ^k×e^–^λ / k!	λ	λ

Сущность закона больших чисел состоит в том, что при большом числе независимых испытаний частота появления случайного события близка к его вероятности. Это известное на бытовом уровне явление строго следует из теоремы Чебышева (закон больших чисел).

Нормальное распределение – наиболее распространенное в природе распределение непрерывных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная теорема, утверждающая, что сумма большого числа как угодно распределенных независимых случайных величин распределена асимптотически нормально, если только слагаемые вносят равномерно малый вклад в эту сумму.

Это значит, что чем больше независимых слагаемых в сумме, тем ближе закон ее распределения к нормальному. Вместо суммы часто рассматривают среднее арифметическое большого числа случайных величин, оно отличается от суммы только множителем 1/n, поэтому его распределение также стремится к нормальному с ростом числа n суммируемых величин. Поскольку случайные величины, с которыми мы сталкиваемся, например, при измерениях, есть результат действия множества независимых факторов, понятно, почему измеряемые значения, как правило, распределены нормально.

Следствием центральной предельной теоремы является широко применяемая при решении задач теорема Муавра-Лапласа, утверждающая, что если производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может происходит с вероятностью р, то закон распределения величины x = (k – n×p) / (n×p×q)^1/2, где: k – число появлений события в n испытаниях, а q = 1 – p, стремится к нормальному с математическим ожиданием равным 0 и дисперсией равной 1 при n стремящемся к бесконечности.

Варианты контрольной работы

Варианты 1-10 (N – номер варианта)

В урне N белых и (25 – N) черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что:

1) шары будут разных цветов, если шары возвращают в урну;

2) шары будут одинакового цвета, если шары не возвращают в урну;

3) хотя бы один шар будет белым, если шары не возвращают в урну.

Варианты 11-20 (N – номер варианта)

В урне (N – 6 ) белых и (31 – N) черных шаров. Из урны последовательно достают все шары. Найти вероятность того, что

1) третьим по порядку будет вынут белый шар;

2) из первых трех шаров хотя бы один будет белым шаром.

Варианты 21-30 (N – номер варианта)

В урне (N – 16 ) белых и 5 черных шаров и (36 – N) красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут разноцветными при условии: а) шары возвращаются в урну; б) шары не возвращаются в урну.

Дата добавления: 2014-01-05