Понятие численных методов расчета

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действием над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

Наиболее часто при анализе различных научных и технических проблем встречаются следующие численные задачи:

– отыскание корней алгебраических и трансцендентных уравнений;

– решение систем алгебраических линейных уравнений (СЛАУ);

– подбор формул по кривым;

– интерполяция и аппроксимация;

– численное интегрирование и дифференцирование;

– обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ);

– дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП);

– оптимизация.

Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т.е. содержит погрешность. Источниками погрешности приближенного решения являются:

– несоответствие математической модели реальному объекту;

– погрешность исходных данных (входных параметров);

– погрешность численного метода решения;

– погрешности округлений в арифметических действиях над числами – вычислительная погрешность.

Погрешность в решении, обусловленная неточностью математической модели и погрешностью входных параметров, называется неустранимой. Точность модели проверяется путем сравнения результатов экспериментов и типичных частных решений при некоторых значениях входных параметров. Влияние погрешности исходных данных можно оценить меняя исходные данные в пределах их погрешностей и сравнивая решения.

Численные методы сами по себе являются приближенными, т.к. любым численным методом решается более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. Например, вычисление значения любой элементарной функции сводится к разложению ее в степенной ряд с бесконечным числом членов. Естественно, процесс вычислений прерывается на некотором шаге, что дает приближенное решение.

Численный метод обычно зависит от одного или нескольких параметров: число итераций при решении систем уравнений или число учитываемых членов при суммировании ряда, шаг изменения подынтегральной функции при приближенном вычислении определенного интеграла. Погрешность метода или получаемая ее оценка обычно зависит от соответствующего параметра. С помощью этой оценки можно найти значения параметра, задающего метод, при которых погрешность метода лежит в требуемых пределах.

Очень сложно учесть вычислительную погрешность – погрешность округления. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного численного метода. Мало чувствительными являются итерационные сходящиеся методы, поскольку возникающие погрешности на следующих итерациях исправляются. Среди разностных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений выделяются так называемые устойчивые методы (разностные схемы), которые тоже мало чувствительны к погрешностям округления.

Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности (неточность ММ и погрешность входных параметров), а погрешность за счет округлений – в несколько раз меньше погрешности метода.

Требования к численным методам:

– точность метода;

– количество действий, с помощью которых реализуется метод, должно быть минимально возможным;

– чем меньше требуется памяти ЭВМ, тем лучше;

– логическая простота метода (чем проще, тем быстрее реализуется на ЭВМ).

Требования противоречивы, поэтому выбор всегда индивидуален и зависит от конкретных условий.

Основные понятия и термины математического моделирования систем электроснабжения

Электрическая система – совокупность элементов, вырабатывающих, преобразующих, передающих, распределяющих и потребляющих электрическую энергию.

При составлении математического описания электроэнергетической системы надо учесть, что электрическая система включает в себя силовые элементы – генераторы, трансформаторы, преобразователи, нагрузки и электрические сети с линиями электропередач различного класса.

Электрическая система содержит также элементы управления, изменяющие и регулирующие состояние системы или режим системы. Для расчета режима системы необходим математический аппарат. Это возможно лишь в том случае, когда инженер ясно представляет себе физику работы энергосистемы, обусловленную физическими явлениями, одновременно происходящими во всех элементах системы.

Энергия – это количественный показатель работы электрической системы.

Качество энергии характеризуется величиной и частотой напряжения у потребителя.

Режим системы – это ее состояние в любой момент времени или на некотором интервале времени.

Параметры режима – показатели, зависящие от изменения режима (напряжения в различных точках системы, токи в ее элементах, углы расхождения векторов ЭДС и напряжений, активные и реактивные мощности и т. д.).

Три основных вида режимов электрических систем:

– нормальный установившийся режим: проектный режим электрической системы с расчетными технико-экономическими характеристиками;

– послеаварийный установившийся режим, наступающий после аварийного отключения какого-либо элемента или ряда элементов системы (в этом режиме система может работать с ухудшенными технико-экономическими характеристиками).

Эти два установившиеся режима характеризуются параметрами, не изменяющимися во времени, связи между параметрами представляются алгебраическими уравнениями.

– переходный режим, во время которого система переходит от одного состояния к другому; для него характерно изменение всех его параметров во времени и описание его дифференциальными уравнениями.

Любой режим состоит из множества различных процессов.

Параметры режима электрической системы связаны между собой определенными соотношениями, в которые входят некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие от свойств элементов системы и от способов их соединения между собой.

Ток на участке линии передачи

,

где I, U₁, U₂ – параметры режима, Z – сопротивление данного участка линии.

Ток в ветви сложной системы в простейшей форме

,

где I, E₁, E₂, …, E_k – параметры режима,

Y₁₁, …, Y_1k – постоянные коэффициенты, называемые параметрами системы. Это: полные, активные и реактивные сопротивления, собственные и взаимные проводимости, коэффициенты трансформации, коэффициенты усиления и т. д.

Параметры системы могут зависеть от изменений ее режима. В этом случае система называется нелинейной. Параметры всех реальных электрических систем нелинейны (в различной степени), но математический аппарат для их исследования недостаточно разработан, поэтому на практике упрощают задачу, полагая систему на каком-либо участке линейной. Оставляют те нелинейности, которыми нельзя пренебречь: Р = U²/R.

Математические задачи электроэнергетики требуют овладения тремя большими разделами прикладной математики:

– методы решения сложных алгебраических уравнений при матричном их представлении;

– теория вероятности;

– дифференциальные уравнения.

Дата добавления: 2014-01-05