Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Формирование матричных уравнений состояния электрической цепи

Конфигурацию схемы замещения электрической системы можно отобразить в виде графа. Граф представляет собой множество вершин (узлов) и ребер (ветвей), соединяющих некоторые (а может быть и все) пары вершин. Любая часть графа называется подграфом. Сово­купность ребер, соединяющих две произвольные вершины, образует подграф, определяемый как путь графа. Если начальная и конечная вершины пути графа совпадают, то этот путь графа является замкну­тым и образует контур.

Если в графе можно выбрать путь, который соединяет его любые две вершины, то этот граф является связанным, если нельзя,— то несвязанным. Если ребра графа имеют фиксированные направления, то этот граф называется направленным. Каждое ребро направленного графа имеет начальную и конечную вершины; его направление при­нимается от первой вершины ко второй.

Схема замещения электрической системы обычно является связан­ным графом. Она состоит из ветвей (ребер), соединенных в узлы (вершины). Ветви образуют цепочки (пути графа), которые могут быть замкнутыми. Все величины, характеризующие состояние ветвей (токи, ЭДС, падения напряжения), имеют определенное направление (без чего не может быть рассчитан режим данной схемы). В связи с этим целесообразно каждой ветви схемы придать определенное (произвольно выбранное) направление. Таким образом, схема заме­щения системы обычно является связанным направленным графом, ребрами которого служат ветви, а вершинами —узлы.

 
 

На рис. 3 в виде связанного направленного графа показана схема (см. рис. 2), на которой выбраны направления ветвей, а также указаны номера ветвей и узлов.

При изображении схем в виде графов нет надобности в специаль­ных обозначениях сопротивлений и ЭДС. Ветви графически изобра­жаются (прямой или кривой) с указанием их направлений (рис. 3). Таким образом, направление ветви от начальною узла к конечному одновременно является положительным направлением для всех участвующих величин – ЭДС, тока и падения напряжения. Любая из этих величин может получиться положительной или отрицательной по отношению к принятому направлению.

Для направленного графа могут быть определены:

1) матрица соединений ветвей в узлах;

2) матрица соединений ветвей в независимые контуры.

Составление матрицы соединений ветвей в узлах

Прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин графа n (узлов схемы), а число столбцов – числу ребер m (ветвей схемы):

.

При этом номера строк i соответствуют номерам вершин, а номера столбцов j – номерам ребер. Элементы матрицы MΣ могут принимать одно из трех значений:

mij = + 1, если узел i является начальной вершиной ветви j;

mij = – 1, если узел i является конечной вершиной ветви j;

mij = 0, если узел i не является вершиной ветви j.

Каждая строка матрицы MΣ показывает, какими вершинами соответствующие ветви присоединяются к данному узлу схемы; каждый столбец – какие узлы являются начальной и конечной вершинами данной ветви. Очевидно, что в каждом столбце матрицы может быть только одна положительная и только одна отрицательная единицы, остальными элементами являются нули. Для практических расчетов

 

 

Выбрав узел е в качестве балансирующего, получим матрицу М из MΣ путем исключения последней строки:

.

По этой матрице можно восстановить исключенную строку (должна быть одна +1 и одна –1), то есть восстановлена вся схема.

Составление матрицы соединений ветвей в независимые контуры

Прямоугольная матрица, число строк которой равно числу независимых контуров k, а число столбцов – число ребер m (ветвей схемы):

При этом номера строк i соответствуют номерам независимых контуров, а номера столбцов j – номерам ветвей. Элементы матрицы N определяются следующим образом:

nij = + 1, если ветвь j входит в контур i и их направления совпадают;

nij = – 1, если ветвь j входит в контур i и их направления противоположны;

nij = 0, если ветвь j не входит в контур i.

 

Каждая строка матрицы показывает, какие ветви входят в состав соответствующего независимого контура и какое направление они имеют относительно направления контура. Каждый столбец матрицы показывает, в состав каких независимых контуров входит данная ветвь и совпадает ли ее направление с направлениями этих контуров. Напоминание: число независимых контуров – на одно меньше (как минимум) общего количества контуров.

Для графа на рис. 3 матрица N имеет вид:

 

Матрицы M и N дают возможность записать уравнения состояния электрической цепи в матричной форме.

Обобщенное уравнение состояния электрической цепи, вид которого не зависит от ее конфигурации и числа элементов:

,

где I – токи в ветвях (неизвестные);

J – задающие токи в узлах (токи нагрузки);

Zв – сопротивления ветвей (диагональная матрица);

Еk – алгебраическая сумма ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур.

Эти уравнения можно объединить в одно, если матрицы М и NZB рассматривать как блоки одной объединенной матрицы пара­метров схемы замещения системы:

,

а матрицы J и Ёк рассматривать как блоки одной объединенной матрицы исходных параметров режима:

.

При этом обобщенное уравнение состояния принимает вид

AI = F.

Здесь матрица А является квадратной, поэтому полученное уравнение состояния можно ре­шить относительно матрицы токов ветвей.

Найдем обобщенное уравнение для схемы на рис. 2 и графа на рис. 3. Определим матрицы NZв и Еk:

;

Обобщенное уравнение состояния в развернутом виде запишется:

.

Для формирования обобщенного уравнения состояния необходимо предварительно определить матрицы соединений М и N, которые в аналитической форме отображают конфигурацию схемы замещения электрической системы. Матрицу М составить несложно. Другую – N – может быть затруднительно, так как требуется выделить независимые контуры, число которых может быть значительным. Кроме того, матрица N в общем случае не содержит полной информации о конфигурации рассматриваемой системы, так как разомкнутые части схемы в ней не отражаются. Например, ветвь 6 на рис. 3 представлена в матри­це N нулевыми элементами и присоединение ее к любому дру­гому узлу не изменяет матрицу N.

Из сопоставления способов формирования уравнений состояния электрической цепи непосредственно по ее схеме и в обобщенной форме с использованием матриц М и N следует, что по трудоемкости оба способа примерно равноценны, причем основная трудность за­ключается в составлении уравнений для независимых контуров в первом случае и матрицы N — во втором. Очевидно, что при пер­вом подходе эта трудность принципиально неустранима, тогда как при использовании обобщенных уравнений состояния ее можно из­бежать, если формализовать процесс составления матрицы N. Воз­можность такой формализации обусловлена тем, что матрица М содержит в себе исчерпывающую информацию о конфигурации схемы, в том числе и необходимую для составления матрицы N. Для реали­зации этой возможности необходимо установить аналитическую за­висимость, связывающую матрицы М и N.

Численные методы линейной алгебры

Это: численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, обращения матриц, вычисления определителей и нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на две группы:

– точные или прямые методы: алгоритмы, позволяющие получить решение системы за конечное число арифметических действий (правило Крамера нахождения решения с помощью определителей, метод Гаусса (метод исключений) и метод прогонки);

– приближенные методы (итерационные);

Правило Крамера в ЭВМ не применяется, так как требует значительно большего числа арифметических действий, чем метод Гаусса. Метод Гаусса используется в ЭВМ при решении систем до порядка 10 3, а итерационные методы – до порядка 10 6.

Метод Гаусса. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений 4-го порядка:

Система неоднородных уравнений (правая часть не равна 0) называется совместной, если существует хотя бы одно решение, и несовместной, если ни одного решения не существует. Признак совместности: система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы (коэффициентов) равен рангу расширенной матрицы (добавляется столбец правой части). Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений – бесконечное множество.

Иначе говоря, отличие определителя системы от нуля – необходимое и достаточное условие существования единственного решения системы.

В случае равенства нулю определителя система либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

Если определитель системы близок к нулю, то говорят, что система плохо обусловлена. В этом случае найти численное решение системы трудно, а точность его весьма сомнительна.

Предположим, что коэффициент а011, называемый ведущим элементом первой строки, не равен 0. Разделив первое из уравнений системы на а011, получим новое уравнение (2):

 
 

Исключим неизвестную х1 из каждого уравнения системы, начиная со второго, путем вычитания уравнения (2), умноженного на коэффициент при х1 в соответствующем уравнении. Преобразованные уравнения имеют вид (3):

а122х2 + а123х3 + а124х4 = а125,

а132х2 + а133х3 + а134х4 = а135,

а142х2 + а143х3 + а144х4 = а145.

Допустим, что ведущий элемент второй строки, т.е. коэффициент а122, тоже отличен от 0. Тогда, разделив на него первое из уравнений в (3), получим уравнение (4): х2 + а223х3 + а224х4 = а225. Исключив с помощью уравнения (4) неизвестную х2 из двух последних уравнений в (3), и так далее, придем к решению х4 = а445.

Итак, если ведущие элементы а011, а122, а233, а344 отличны от нуля, то система (1) эквивалентна следующей системе с треугольной матрицей (5):

х1 + а112х2113х3114х4115

х2223х3224х4225

х3334х4335

х4 = а445.

Из этой системы неизвестные х находятся явно в обратном порядке.

Процесс приведения системы (1) к треугольному виду называется прямым ходом, а нахождение неизвестных по формулам – обратным ходом метода Гаусса.

Число арифметических действий, выполняемых при решении системы линейных алгебраических уравнений порядка n методом Гаусса = (2/3)* n3.

Рассмотренный выше простейший вариант метода Гаусса (схема единственного деления) имеет недостатки:

– если ведущий элемент какой-либо строки окажется равным нулю, то эта схема формально непригодна, хотя система может иметь единственное решение. Кроме того, если определитель системы не равен нулю, но в процессе вычислений встречаются ведущие элементы, которые достаточно малы по сравнению с другими элементами соответствующих строк, то погрешность округления будет оказывать значительное влияние на точность результата.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Сложных электрических сетей | Метод Гаусса-Жордана
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 2888; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.043 сек.