Математическое моделирование объектов и устройств автоматизации в САПР Требования к математическим моделям

Математические модели (ММ) служат для описания свойств объектов в процедурах АП. Если проектная процедура включает создание ММ и оперирование ею с целью получения полезной информации об объекте, то говорят, что процедура выполняется на основе математического моделирования.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности

Степень универсальности ММ характеризует полноту отражения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров Y = (y1, y2,..., ym).Тогда, обозначив искреннее и рассчитано с помощью ММ значение j-го параметра через yjист и yjm соответственно, определим относительную погрешность Ej расчета параметра Yj как

E_j = (y_jm - y_jист)/y_jист

Получено векторную оценку Е = (E1, E2,..., Em). При необходимости сведения этой оценки до скалярного используют какую-либо норму вектора, например

E_m = ||E|| = maxE_j.

j O [1m]

Адекватность ММ - способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку исходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних Х, погрешность Ej зависит от значений Q и Х.

Обычно значения внутренних параметров ММ определяют из условия минимизации погрешности Eм в некоторой точке Qном пространства внешних переменных, а используют модель с рассчитанным вектором при различных значениях Q.При этом, как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных - области адекватности (АО) математической модели:

OA = {Q|E_m, d},

где d - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов. Чем они меньше, тем модель экономичнее.

Классификация математических моделей

Рассмотрим основные признаки, классификации и типы ММ, применяемые в САПР.

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные.

Структурные ММ предназначены для отражения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.

В топологических ММ отражаются состав и взаимосвязи элементов.Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого количества элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственных позиций (например, задачи компоновки оборудования, размещение деталей,трассировки соединений) или в относительных моментов времени (например, при разработке расписаний,технологических процессов).Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т.п.

В геометрических ММ отображаются свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей.Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; совокупностью алгебраических соотношений, описывающих области, составляющих тело объекта; графами и списками, отражающие конструкции из типовых конструктивных элементов и т.п.Геометрические ММ применяют при решении задач конструирования в машиностроении, приборостроении, радиоэлектронике, для оформления конструкторской документации, при задании исходных данных на разработку технологических процессов изготовления деталей. Используют несколько типов геометрических ММ.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Конечно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная модель - это модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т.е. состояние всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.

По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров.

Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

Имитационная ММ - это алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект.

Дата добавления: 2014-01-05