Первая и вторая позиционные задачи

Фигуры

Плоскость проекций. Нахождение натуральной величины плоской

Проецирование плоскости общего положения в прямую на новую

Если спроецировать какую - либо прямую m, принадлежащую плоскости общего положения S, в точку, то плоскость S спроецируется на эту же плоскость проекций в прямую линию. Действительно, прямая m перпендикулярна плоскости проекций и, значит, плоскость S проходит через перпендикуляр к плоскости проекций и тоже ей перпендикулярна. Плоскость S является проецирующей плоскостью и на плоскость проекций проецируется в прямую. Если m – прямая общего положения, то для проецирования ее в точку потребуются две замены плоскостей проекций (рис. 4.6). Если m – прямая уровня, то для ее проецирования в точку потребуется одна замена плоскостей проекций (рис. 4.5).

Пусть S – плоскость общего положения, заданная треугольником АВС (рис. 4.7). В плоскости S проведем горизонталь h, спроецируем горизонталь h в точку h₄ на плоскость П₄ (x₁₄ ^ h₁, П₄ ^ h), построим новые проекции точек А₄, В₄, С₄. Плоскость S проецируется в прямую, проходящую через точки А₄, В₄, С₄. Плоскость S в системе (П₁П₄) является проецирующей плоскостью, она перпендикулярна П₄. Треугольник АВС проецируется на П₄ в отрезок В₄С₄.

Для нахождения натуральной величины треугольника АВС введем плоскость проекций П₅ параллельно плоскости треугольника и перпендикулярно П₄. Новая ось x₄₅ параллельна отрезку D₄C₄ (в противном случае S и П₅ пересекутся). Треугольник АВС проецируется на плоскость П₅ в натуральную величину DА₅В₅С₅ = DАВС. Аналогично находится натуральная величина любой плоской фигуры. Плоскость S в системе (П₄П₅) является плоскостью уровня.

Если необходимо построить в плоскости S какую-либо фигуру, то выполнить это построение в плоскости общего положения трудно. В этом случае проводятся построения, показанные на рис. 4.7. На П₅ строится натуральная величина фигуры. Затем находятся остальные проекции этой фигуры. На рис. 4.7 по проекции D₅ (одна точка натуральной величины фигуры) найдены остальные проекции этой точки. Проекция D₄ принадлежит прямой, в которую проецируется плоскость S. Последовательность построений показана стрелками. Правило замены плоскостей проекций справедливо и в этом случае. Равные отрезки помечены одинаково. Таким способом можно построить, например, окружность, вписанную в треугольник ABC. На плоскости П₅ строится окружность, вписанная в треугольник А₅В₅С₅, а затем находятся остальные проекции ряда точек окружности так же, как для точки D₅. Горизонтальная и фронтальная проекции этой окружности – эллипсы.

В случае, когда дана проецирующая плоскость, построений, связанных с натуральной величиной фигуры, конечно, меньше, так как плоскость уже проецируется в прямую линию. На рис. 4.8 показано построение квадрата, принадлежащего горизонтально проецирующей плоскости. Пусть дана горизонтально проецирующая плоскость S(S₁) и две точки этой плоскости А(А₁, А₂) и В(В₁, В₂). Необходимо построить квадрат ABCD в плоскости S. Соединяем отрезками проекции А₂,В₂ и А₁,В₁. Получили проекции стороны квадрата. Вводим плоскость П₄ // S₁ (x₁₄ // S₁). Строим новую проекцию А₄В₄. Достраиваем к отрезку А₄В₄ квадрат А₄В₄С₄D₄. Проекции С₁ и D₁ принадлежат S₁. Проекции С₂ и D₂ строятся по правилам замены плоскостей проекций. У этой задачи есть второе решение – квадрат, симметричный построенному относительно прямой (АВ). Это второе решение можно построить, не пользуясь проекцией на плоскость П₄ сразу на плоскостях П₂ и П₁.

Позиционные задачи – это задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или взаимное положение фигур – их принадлежность, параллельность и пересечение.

Дата добавления: 2014-01-05