Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Исследование линейных систем на фазовой плоскости




Особенности метода фазового пространства.

1. фазовые пространства и фазовые траектории это лишь геометр образы динамических процессов протекающих в системе. 2. в этом геометр-ом предствал-ии участвуют фазовые координаты, а время исключено. 3. Фазовая траектория дает лишь качественное но неколичественное представление о характере поведения системы. 4. Если исходная система ур-ий составлена в отклонениях от установившегося состояния, то установ-ся состояние будет харак-ся началом координат в фазовом пространстве. 4.1 Соотв-е фазовые траектории устойчив системы будут асимптотически приближаться к началу координат. 4.2 Для НС фазовые координаты в различных областях могут иметь различные очертания. 4.3 В верхней полуплоскости фазовой плоскости, фазовые точки с увелич времени всегда направлены в сторону возрастания координаты х1. Главное св-во фазов. траектории которое обуславливает наглядность фазового портрета состоит в том, что фазовые траектории никогда не пересекаются в не особых точках. Недостатки: 1) Сложность исследования систем выше II порядка. 2) Нет количественных оценок во времени.

 

Постановка задачи: Пусть дана лин-я система которая описыв-ся ур-ем II порядка, где х-это отклонение от заданного состояния d2x/dt2+a1dx/dt+a0x=0 (1) Требуется построить фазовый портрет и исследовать систему на устойчивость качества при различ. элементах a1, a0. процедура исследования линейных систем на фазовой плоскости сост. из след. этапов: I. представление исходной системы в виде Коши ( диф ур-е I порядка ). Введем х=х1, тогда {dx1/dt=x2dx2/dt=-a0x1-a1x2; (2) dx2/dt=d2x1/dt2 =d2x/dt2. II. Состоит в исключение времени. Поделим второе ур-е на первое, чтобы исключить время. dx2/dx1= (-a0x1/x2 )– a1 (3) III.Нахождение решения и построение фазовых траекторий, анализ устойчивости и качества. Вид фазовой траектории зависит от расположения корней хар-го ур-я в соотв-ии с необходимым и достаточным условием устойчивости. Запишем хар-ое ур-е для данной системы: p2+ a1p+a0=0 => p1,2=-a1/2 ± a12/4-a0 (4). Рассмотрим все случаи: Iслуч когда а1=0 а0>0, исходя из представления ур-я (3) с учетом выше написанных коэфф-ов, запишем dx2/dx1= -a0x1/x2, p1,2=± -a0=±j a0 , проинтегрируем: x2dx2=a0x1dx1. x22/2= -a0x12/2+C. x22/2C+x12/(2C/ a0)=1 – уравнение элипса.

Направление на фазовых траекториях определяем следующим образом: 1) выберем точку М0 в I квадранте, для нее харак-но

х1>0, x2>0 => dx1/dx2>0; далее dx2/dx1=-a0x1 <0. Def Особая точка- на фазовой плоскости это такая точка в которой направление движения не определено. Для нас это особая точка типа центр. II случ а1>0, a0>0 => (a12/4)-a0>0. p1=-α1; p2=-α2. Для этого случая мы можем записать решение в следующем виде: x12i=1 ciet, x2=dx1/dt=-Σ2i=1 αiciet.



 


Затухающим апереодич. процесса соотв-ет фазовая траектория вливающаяся в начало координат. поскольку явно разделить переменные не удается (прим. ур-я 3), поэтому построение ведется с помощью следующей таблицы.

Особая точка в данном случае называется устойчивый узел.

 

III случ а1<0, a0>0 =>(a12/4)-a0>0. p1=α1; p2=α2.

x12i=1 cieαt, x2=dx1/dt=Σ2i=1 αicie-αt.

Мы наблюдаем следующий процесс. Он так же может протекать по разному:

 

       
   
 
 


 

 

IV случ a1>0, a0>0, (a12/4)-a0<0; p1,2=-α±jβ.

x1=c1e-αtsin(βt+φ). Тогда производная равна x2=-αc1e-αtsin(βt+φ)+ βc1e-αtсos(βt+φ).

 

       
   
 
 

 


Особая точка типа устойчивый фокус. V случ: a1<0, a0<0, (a12/4)-a0<0; p1,2=α±jβ. x1=c1eαtsin (βt+φ). x2=αc1eαtsin(βt+φ)+ βc1eαtсos(βt+φ).

           
   
   
 
 
 

 

 


Особая точка типа неустойчивый фокус.

 

 

VI случ: а1=0, а0<0; p1,2=±√-а0=±ω0. Пусть -а0= ω02. Исходя из dx2/dx1= (-a0x1/x2 )– a1, получим dx2/dx1= -a0x1/x2 => dx2/dx1= ω0x1/x2; x2dx202x1dx; x22/2= (ω02x12/2)+C; (x02/2C) – (x12/(2C/ω02))=1-гипербола.

 

 


Особая точка называется типа седло.

 

 





Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 126; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.196.17.193
Генерация страницы за: 0.104 сек.