Перпендикулярность двух прямых

Построение взаимно перпендикулярных фигур

В качестве взаимно перпендикулярных будем рассматривать пары фигур: две прямые, прямая и плоскость, две плоскости, прямая и поверхность.

Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

Задача. Даны прямая АВ и точка С. Построить прямую, проходящую через точку С и пересекающую АВ под прямым углом (рис. 7.1).

Решение задачи основывается на построениях, приводящих к проекционному изображению условий теоремы о проекции прямого угла (см. рис. 6.2).

Алгоритм решения в символической записи будет следующим:

1) х₁ // А₁В₁;

2) (А₂В₂, А₁В₁) Þ А₄В₄; (С₂, С₁) Þ С₄;

3) С₄D₄ ^ А₄В₄;

4) D₄ Þ D₁ Î А₁В₁; D₁ Þ D₂ Î А₂В_2.

С₁D₁, C₂D₂ – решение задачи.

Задача. Даны прямая АВ и точка D (рис. 7.2).

Построить прямую, проходящую через точку

D, перпендикулярную прямой АВ и образующую

с ней кратчайшее расстояние R, где R < r(D, AB);

r – расстояние между фигурами, указанными в

скобках.

Из условия задачи следует, что заданная и искомая прямая – скрещивающиеся. Концы отрезка кратчайшего расстояния R образуют два множества точек: прямую АВ и цилиндрическую поверхность вращения с осью АВ. Из точки D можно провести лишь две прямые, касательные к цилиндрической поверхности и образующие угол 90° с прямой АВ. Алгоритм решения данной задачи в символической записи имеет вид:

1) х₁ // А₁В₁;

2) (А₂В₂, А₁В₁) Þ А₄В₄; (D₁, D₂ ) Þ D₄;

3) х₂ ^ А₄В₄;

4) (А₁В₁, А₄В₄) Þ А₅ = B₅; (D₁, D₄ ) Þ D₅;

5) D₅C₅ – касательная к окружности радиуса R; D₄C₄ ^ А₄В₄;

6) (C₅, C₄) Þ C₁; (C₄, C₁) Þ C₂.

C₂D₂, С₁D₁ – одно из двух решений задачи.

Дата добавления: 2014-01-05