Решение нелинейных уравнений. Уточнение корней

Краткое описание сущности метода касательных (метода секущих Ньютона)

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.

Так как f ’(x) ¹ 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде:

x = x – (f (x) / f ’(x)) (1)

Решая его методом итераций можем записать:

x_n+1 = x _n– (f (x _n) / f ’(x _n)) (2)

Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид:

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим:

x = b – (f (b) /f ‘(b))

Нашли абсциссу x₁ точки c₁ пересечения касательной с осью ox:

x₁ = b – (f (b) – f ’ (b))

Проведем касательную к графику функции в точке b₁ (x₁; f (x₁)).Найдем абсциссу x₂ точки

с₂ пересечения касательной с осью Ox:

x₂ = x₁ – (f (x₁) / (f ’(x₁))

Вообще:

x_k+1 = x _k – (f (x _k) / f ’(x _k)) (3)

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x_k) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке b _k (x _k; f (x _k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x ₀ = a или x₀ = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х _k принадлежала интервалу ]a;b[. В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х₀ берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х₀) * f (х₀) > 0. Для оценки приближения используется общая формула:

|c-x _k-1 | £ | f (x _k+1)/m|, где m = _min f ’(x) на отрезке [a;b].

На практике проще пользоваться другим правилом:

Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e - заданная точность решения, то неравенство | x _k+1-x _k| £ e влечет выполнение неравенства |c-x _k-1| £ e.

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство:

|c-x _k-1| £ e.

Дата добавления: 2014-01-05