В то время как для модификационного метода Эйлера

a₁=0, a₂=1,

b₁=b₂=1/2.

Формулы 1.9, 1.10, 1.11 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты. Посмотрим, какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a₁, a₂, b₁ и b₂.

Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h, в общем случае достаточно одного параметра. Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h2, потребуется еще два параметра, так как необходимо учитывать члены h2f_x и h2ff_y. Так как у нас имеется всего четыре параметра, три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h2, то самое лучшее, на что здесь можно рассчитывать - это метод второго порядка.

В разложении f(x,y) в ряд 1.5 в окрестности точки x_m,y_m положим x=x_m+b₁h,

y=y_m+b₂hf.

Тогда f(x_m+b₁h,y_m+b₂hf)=f+b₁hf_x+b₂hff_y+O(h2), где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке x_m,y_m.

Тогда 1.9 можно переписать в виде y_m+1=y_m+h[a₁f+a₂f+h(a₂b₁f_x+a₂b₂ff_y)]+O(h3).

Сравнив эту формулу с разложением в ряд Тейлора, можно переписать в виде

y_m+1=y_m+h[a₁f+a₂f+h(a₂b₁f_x+a₂b₂ff_y)]+O(h3).

Если потребовать совпадения членов hf, то a₁+a₂=1.

Сравнивая члены, содержащие h2f_x, получаем a₂b₁=1/2.

Сравнивая члены, содержащие h2ff_y, получаем a₂b₂=1/2.

Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных, то одно из этих неизвестных можно задать произвольно, исключая, может быть, нуль, в зависимости от того, какой параметр взять в качестве произвольного.

Положим, например, a₂=w¹0. тогда a₁=1-w, b₁=b₂=1/2w и соотношения 1.9, 1.10, 1.11 сведутся к

y_m+1=y_m+h[(1-w)f(x_m,y_m)+wf(x_m+h/2w,y_m+h/2wf(x_m,y_m))]+O(h3) 1.12

Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка. При w=1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера, при w=1 получаем модификационный метод Эйлера. Для всех w, отличных от нуля, ошибка ограничения равна

e_t=kh3 1.13

Методы Рунге-Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков. Мы не будем воспроизводить выкладки, а ограничимся тем, что приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений. Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений

y_m+1=y_m+h/6(R₁+2R₂+2R₃+R₄) 1.14

где R₁=f(x_m,y_m), 1.15

R₂=f(x_m+h/2,y_m+hR₁/2), 1.16

R₃=f(x_m+h/2,y_m+hR₂/2), 1.17

R₄=f(x_m+h/2,y_m+hR₃/2). 1.18

Ошибка ограничения для этого метода равна e_t=kh5

так что формулы 1.14-1.18 описывают метод четвертого порядка. Заметим, что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза.

Во многих областях науки и техники, а также отраслях наукоемкой промышленности, таких как: авиационная, космическая, химическая, энергетическая, - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов, с дальнейшей их коррекцией.

Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов, таких как: метод прогноза и коррекции, метод Адамса-Башфорта, метод Эйлера, метод Рунге-Кута, и др. При этом, стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования, на произвольном промежутке времени. Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта. Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага, что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования.

Дата добавления: 2014-01-05