Пересечение поверхности и плоскости

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ФИГУР

Винтовые поверхности

Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Винтовым движением называется сложное движение, состоящее из равномерного вращательного движения вокруг оси и равномерного прямолинейного движения, параллельного этой оси. При винтовом движении точки получается винтовая линия (см. 10.1).

Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью, или геликоидом. Геликоид называется прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая оси геликоида или наклонна.

Рассмотрим некоторые виды линейчатых винтовых поверхностей.

1. Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей m по двум направляющим. Одна из направляющих является цилиндрической винтовой линией t, а другая - ее осью i. Причем во всех своих положениях образующая m параллельна плоскости, которая называется плоскостью параллелизма. У прямого геликоида образующая m пересекает винтовую ось i под прямым углом. Прямой геликоид относится к числу коноидов и называется винтовым коноидом.

2. Наклонный геликоид отличается от прямого геликоида тем, что его образующая m пересекает ось геликоида под постоянным углом, не равным прямому углу. У наклонного геликоида одна из направляющих является цилиндрической винтовой линией т, а другая - ее осью i. Во всех своих положениях образующая m параллельна образующим некоторого конуса вращения. У этого конуса угол между образующей и осью, параллельной оси геликоида, равен j. Он называется направляющим конусом наклонного геликоида.

3. Развертывающийся геликоид образуется движением прямолинейной образующей m, касающейся во всех своих положениях цилиндрической винтовой линии n. Она является ребром возврата геликоида. Развертывающийся геликоид как линейчатая поверхность с ребром возврата относится к числу торсов.

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой линию, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью. Отсюда следуют два варианта построения сечения:

1) выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью;

2) выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью.

Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности.

Определение проекций линий сечения рекомендуется начинать с построения его опорных (характерных) точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (они определяют границы видимости проекций кривой), точки, удаленные на экстремальные расстояния от плоскостей проекций и некоторые другие. После этого определяют промежуточные точки сечения.

Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна.

Пример 1. Построить проекции сечения кони-ческой поверхности вращения с фронтально-проеци-рующей плоскостью S (рис. 12.1).

Решение. Заданная плоскость S пересекает исходную поверхность по эллипсу, фронтальная проекция которого расположена на следе этой плоскости. Горизонтальную проекцию сечения строим по точкам в соответствии с задачей на принадлежность линии поверхности (см. рис. 12.1).

Проекцию эллипса на плоскости P₁ можно построить также по его большой A₁B₁ и малой C₁D₁ осям. Фронтальная проекция малой оси эллипса (точки C₂=D₂) находится на середине отрезка А₂В₂.

Пример 2. Построить пересечение многогранника плоскостью (рис. 12.2).

Дата добавления: 2014-01-05