Пересечение линии и поверхности

Линия и поверхность пересекаются в общем случае в нескольких точках А, В, …. Алгоритм их определения может быть построен на тех же рассуждениях, что и при построении точки пересечения прямой и плоскости. Действительно, точки A, B, … пересечения линии m и поверхности Q принадлежат также линиям, проходящим через эти точки и лежащим на заданной поверхности. Кривую n можно рассматривать как проекцию линии m на поверхность Q. Тогда, в случае параллельного проецирования, линии n и m будут располагаться на одной цилиндрической поверхности, у которой направляющей является кривая m, а образующие параллельны направлению проецирования. В случае если линия прямая, то n и m находятся в одной плоскости S (рис. 12.6). Если направление проецирования будет перпендикулярно какой-либо плоскости проекций, линии n и m будут конкурирующими относительно соответствующей плоскости проекций.

Пример 1. Даны прямая m и тор. Построить точки пересечения прямой и поверхности. (рис. 12.7)

Решение.

1. Выбираем на заданной поверхности линию n, например, фронтально конкурирующую с заданной прямой m. Линии n и m пересекаются, т.к. они находятся в одной фронтально-проецирую-щей плоскости.

2. Определяем горизонтальную проекцию линии n (n₁), исходя из условия принадлежности ее поверхности.

3. Находим точки A и B пересечения линий n и m, которые и являются искомыми.

4. Устанавливаем види-мость проекций прямой. Так, как участок AB прямой m, рас-положен внутри поверхности, то он невидим на P₁ и P₂. Кроме этого, на P₂ невидим отрезок прямой m правее точки B₂ до точки на очерке поверхности, а на P₁ – левее точки 5₁, также до точки на очерке поверхности. Эти отрезки закрыты поверхностью – находятся за контурами поверхности.

Пример 2. Даны кривая n и цилиндроид G(a, b, S) (рис. 12.8). Построить точки пере-сечения линии и поверхности.

Решение.

1. На поверхности цилиндроида вводим кривую m, фронтально конкурирующую с линией n. Эти кривые пересекаются (в общем случае), т.к. расположены на одной фронтально проецирующей цилиндрической поверхности, у которой линия n – направляющая, а образующие перпендикулярны P₂.

2. Строим горизонтальную про-екцию кривой m(m₁) (mÌG).

3. Находим горизонтальную про-екцию точки A(A₁) - A₁ = n₁ Ç m₁, а затем и A₂(A₂ Ì n₂).

Пример 3. Даны прямая n и коническая поверхность (рис. 12.9). Построить точки пересечения линии и поверхности.

Решение. Поставленную задачу также можно решить, задав на конической поверхности линию m, конкурирующую с прямой n относительно плоскости проекций P₁ или P₂. Полученные кривые будут лекальные, что требует значительных построений и снижает точность решения задачи. Так как заданная поверхность линейчатая, то в качестве линии m на поверхности целесообразно взять прямую (или прямые). Тогда алгоритм решения задачи будет следующим:

1. Спроецируем из точки S прямую n на плоскость P₁, т.е. определим центральную проекцию прямой n на плоскость P₁. Для этого проводим два проецирующих луча через точки 1 и 5 прямой до пересечения с плоскостью проекций P₁. Точки 1 и 2 задают центральную проекцию прямой n на P₁.

2. Строим образующие m¹ и m² на конической поверхности, конкурирующие с n относительно П₁ при ее центральном проецировании.

3. Находим точки A и B пересечения прямой n с образующими m¹ и m². Точки A и B – искомые.

4. Устанавливаем видимость проекций прямой n.

Дата добавления: 2014-01-05