КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая
Пусть V – евклидово пространство со скалярным произведением (x, y), W – подпространство V. Множество всех векторов x, ортогональных всем векторам из W, которое обозначим , называется ортогональным дополнением к подпространству W. Опишем свойства ортогонального дополнения. Свойство 2.3. - линейное подпространство V. Доказательство. Пусть , тогда справедливы равенства и . Из этих равенств выводим равенства и , то есть . Тем самым свойство доказано. Свойство 2.4 . Доказательство. Построим ортогональный базис подпространства W и дополним его до ортогонального базиса всего пространства V. Векторы ортогональны векторам , а, значит и любому вектору из W. Следовательно, векторы принадлежат ортогональному дополнению к W. Разложим произвольный вектор x по базису и положим , . Поскольку x = y + z и , , то установлено равенство . Покажем, что сумма прямая. Пусть , тогда (x, x)=0 как скалярное произведение вектора из W на вектор из ортогонального дополнения к W. Единственный вектор нулевой длины равен 0, и, значит, пересечение содержит только нулевой вектор и сумма прямая. Следствие 2.4 . Доказательство вытекает из свойства прямой суммы подпространств. Любой вектор x пространства V можно представить в виде суммы вектора y из подпространства W и вектора z из , причем векторы y и z определяются единственным образом. Вектор y называется ортогональной проекцией x на W и обозначается , а вектор z – ортогональной составляющей вектора x и обозначается . О способах построения ортогональной проекции и ортогональной составляющей будет разговор в п.2.6. Свойство 2.5. . Доказательство. Применив Следствие 2.4, получим . Пусть x – произвольный вектор из W. Поскольку для произвольного вектора скалярное произведение (x, y)=0, то . Тем самым показано включение , из которого, в силу совпадения размерностей, выводим равенство .
Пусть базис W. Вектор z принадлежит ортогональному дополнению к W тогда и только тогда, когда , , …, . Пусть базис пространства V. В координатах, эти равенства превращаются в систему линейных уравнений . Взяв в качестве W ортогональное дополнение к нему, получим следующее утверждение. Свойство 2.6. Любое подпространство может быть задано системой линейных однородных уравнений. В случае, если базис ортонормированный, коэффициентами при неизвестных в системе линейных уравнений являются координаты базисных векторов ортогонального дополнения.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1372; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |