Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Билинейные формы. Квадратичные формы




Билинейные функции, квадратичные формы.

Пусть V – линейное пространство над полем P. Функция, ставящая в соответствие паре векторов вещественное число, и обладающая свойствами линейности называется билинейной формой. Другими словами, функция называется билинейной, если

  1. ,
  2. ,

где , .

Примером билинейной функции является скалярное произведение.

Теорема 4.1 Билинейная форма полностью определяется своими значениями на базисных векторах.

Доказательство. Пусть - базис V. Разложим векторы b и c по базису , . Тогда из линейности выводим . Теорема доказана.

Обозначим через столбец, составленный из координат вектора b, а через – матрицу, на пересечении i -ой строки и j -го столбца которой расположено значение билинейной формы от базисных векторов . Легко убедиться в равенстве . Матрица называется матрицей билинейной формы f в базисе .

Следствие 4.1 Билинейная форма полностью определяется своей матрицей.

Билинейная форма называется симметричной, если ее значение не меняется от перестановки аргументов, то есть .

Следствие 4.2 Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда найдется базис, в котором ее матрица симметрична.

Доказательство. Если билинейная форма симметричная, то в любом базисе ее матрица симметрична. Обратно, пусть в некотором базисе матрица билинейной формы симметричная. Тогда .

Квадратичной формой называется значение билинейной формы от одного аргумента, то есть f (x, x).

Одну и ту же квадратичную форму можно получить из разных билинейных форм. Например, квадратичную форму можно получить из следующих билинейных форм , где .

Между квадратичными формами и симметричными билинейными формами существует взаимно однозначное соответствие, определяемое формулой 0,25(f (x + y, x + y)- f (x - y, x - y)). Матрица симметричной билинейной формы, соответствующей квадратичной форме, называется матрицей квадратичной формы.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1194; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.