Определение скалярного произведения

Определение 1. Для любых двух векторов a и b (плоскости или пространства) их скалярным произведением называется число

(a, b) = | a |∙| b |∙cos Ð(a, b). (1)

При этом угол между векторами a и b измеряется так, чтобы он был неотрицатель­ным и не превосходил 180° (предполагаем, что векторы приведены к общему началу). То­гда этот угол определён однозначно, за исключением случая, когда хотя бы один из двух данных векторов равен 0. В этом последнем случае величина угла является полностью не­определённой (или можно считать, что любое число является значением этого угла). Заме­тим, что если хотя бы один из векторов a или b нулевой, то в соответствии с определением (1) их скалярное произведение равно нулю (или можно это считать дополнительным со­глашением, поскольку косинус угла является полностью неопределённым).

Определение 2. Два вектора называются ортогональными [6], если угол между ними равен 90°.

Добавим, что нулевой вектор мы будем считать ортогональным любому другому (а также самому себе). Это соглашение можно объяснить следующим образом: поскольку в этом случае любое число можно считать значением угла, то, в частности, можно считать, что угол равен 90°.

Предложение. Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Очевидно из определения, т. к. если произведение трёх чисел в правой части равенства (1) равно нулю, то либо хотя бы один из двух данных векторов имеет нулевую длину и, следовательно, сам нулевой и, значит, ортогонален второму дан­ному вектору, либо оба вектора ненулевые, но тогда косинус угла между ними равен 0, а значит, сам этот угол равен 90°.

Определение 3. Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом вектора.

Очевидно, что скалярный квадрат равен квадрату длины данного вектора: (a, a) = = | a |², т. к. угол между a и a равен 0. Отсюда имеем формулу для вычисления длины век­тора через его скалярный квадрат:

| a | =

Дата добавления: 2014-01-05