Пример 2.20

Отношение эквивалентности.

Некоторые элементы множества могут быть рассмотрены как эквивалентные. К эквивалентным элементам отнесём такое подмножество элементов, в котором один элемент может быть заменён другим элементом. В этом случае говорят, что эти элементы находятся друг с другом в отношении эквивалентности.

Рассмотрим множество .

Если ; , , , , то между элементами существует отношение эквивалентности: содержать одинаковое число единиц. Такое же отношение существует и между элементами .

Если на множестве задать отношение эквивалентности «иметь одинаковый знаменатель» и при этом , , , , , то в заданном отношении находятся элементы , а также элементы .

Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами:

- каждый элемент эквивалентен самому себе;

- высказывание относительно эквивалентности между двумя элементами не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым, а какой вторым;

- два элемента, эквивалентных третьему элементу, эквивалентны между собой.

Зададим на некотором произвольном множестве бинарное отношение , . Это отношение будем называть отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

- рефлексивности , или в инфиксной форме, в префиксной форме , в постфиксной форме .

- симметричности , или инфиксной форме , в префиксной форме , в постфиксной форме ;

- транзитивности

, в инфиксной форме

, в префиксной форме , в постфиксной форме .

Таким образом, бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности является подмножеством декартова произведения . Следовательно, элементами отношения эквивалентности являются упорядоченные пары: .

Дата добавления: 2014-01-05