Пример 3.1. Рассмотрим алгебраичскую систему

Автоморфизмы.

Рассмотрим алгебраичскую систему

, , , , .

Зададим отображение , обладающее свойством согласованности с операциями , и отношениями , :

, , ;

, ,

.

Рассмотрим алгебраическую систему с одной операцией и одним отношением , , . Пусть и , т.е. рассматривается двуместная операция и бинарное отношение : , . Допустим, что представляет собой операци. Сложения, а ─ отношение «быть больше». Тогда можно запмсать:

, , .

Зададим отображение , представляющее собой умножение на число . Тогда , .

Запишем условия согласованности: и для нашего случая.

Имеем ; .

Теорема 3.1. (Теорема об обратном изоморфизме).

Пусть и ─ однотипные алгебры , , , . Допустим, что ─ изоморфизм. Тогда также изоморфизм.

Доказательство.

Если отображение является изоморфизмом, то имеет место согласованность со всеми парами одноимённых операций , .

Является очевидным, что для любого из множества найдётся и притом только один элемент из , являющийся образом элемента : , . Аналогично будем рассуждать для всех остальных элементов: ,…, . Запишем условие согласованности отображения с одноимёнными операциями:

.

Тогда или

. Последняя запись подтверждает согласованность одноимённых операций с отображением , т.е. отображение является морфизмом. Можно доказать, что биективно. Последнее предлагается студентам доказать самостоятельно.

Теорема 3.2. (Теорема о композиции изоморфизмов).

Пусть даны три универсальных алгебры:

, ,

, ,

, .

Допустим, что и ─ изоморфизмы. Тогда изоморфизмом является композиция отображений .

Доказательство.

Поскольку отображения и изоморфизмы, то они биективны. Тогда у любого элемента из найдётся образ из и причём только один. Тогда можно записать:

, ;

, :

……………………………………

, .

Аналогично относительно отображения :

, ;

, ;

…………………………………….

, .

Если и изоморфизмы, то можно записать условия согласованности с одноимёнными операциями:

.

Но . Тогда

Последняя запись означает согласованность одноимённых операций и относительно композиции отображений . Свойство биективности отображения предлагается студентам доказать самостоятельно.

Дата добавления: 2014-01-05