Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интегрирующий множитель




В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал .

Такая функция называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя или

(2)

Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.

1. Если , то и уравнение (2) примет вид

(3)

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.

 

Пример 8.1. Решить уравнения

Решение. , , имеем , следовательно , ,

Уравнение в полных дифференциалах

Его можно представить в виде , откуда и общий интеграл данного уравнения

2. Аналогично, если есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от y.

 

Интеграл уравнения (1)

Пример 8.1. Решить уравнение

Решение. Положим , тогда

т.к. , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

,

, ,

Замечание. Аналогично можно проинтегрировать уравнение

2. Уравнение вида

(2)

не содержит явным образом независимой переменной x.

Для его решения снова положим

(3)

но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда

Подставляя выражение и в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка

Интегрируя его, найдём p, как функцию y и производной постоянной :

Подставляя это значение в соотношение (3), получим

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения

Пример 8.2. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Пусть , тогда

Возвратимся к переменной y:




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 683; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.