Полуэмпирические соотношения в теории турбулентности

Современная теория турбулентности не располагает возможностями теоретическим путем получить уравнения для определения напряжений Рейнольдса. Поэтому достаточно эффективным способом, позволяющим замкнуть систему уравнений движения, является привлечение полуэмпирических соотношений, связывающих эти напряжения с осредненными по времени компонентами скорости , и .

Одна из первых таких эмпирических гипотез была выдвинута Ж.Буссинеском, который предложил выражать турбулентные напряжения трения аналогично закону трения Ньютона, т.е.

где -коэффициент турбулентной вязкости, или турбулентного обмена.

В отличие от молекулярной, турбулентная вязкость характеризует не физические свойства жидкости, а зависит от распределения осредненной скорости и статистических свойств пульсационного движения. Поэтому она не является физической константой, подобно динамическому коэффициенту вязкости μ, а может изменяться как в пространстве, так и во времени. Важно также отметить (как это было сделано в предыдущем разделе), что даже на небольших удалениях от твердых границ турбулентная вязкость существенно превосходит молекулярную ().

В целом (с учетом вклада в трение молекулярной вязкости) для турбулентного потока можно записать

Однако представление Буссинеска не приводит к решению задачи ввиду того, что, к сожалению, на сегодняшний день отсутствуют прямые методы определения турбулентной вязкости. Таким образом, чтобы использовать путь, указанный Буссинеском, необходимо попытаться найти связь между коэффициентом турбулентной вязкости и полем осредненных скоростей.

Первый заметный успех в этом направлении был достигнут Л.Прандтлем в 1925 году, который предложил ввести понятие так называемого пути перемешивания(смешения). В соответствии с гипотезой Прандтля, каждый турбулентный моль (вихрь) жидкости переносит некоторое количество движения, которое сохраняется постоянным на длине пути перемешивания. Другими словами, длина пути перемешивания в некоторой мере аналогична длине свободного пробега молекул в кинетической теории газов, и определяет путь, который проходит моль жидкости, прежде чем он перемешается с другими жидкими образованиями и передаст свой импульс. Такого рода перемешивание – его называют турбулентным перемешиванием – сопровождается переносом сквозь границу между слоями жидкости импульса, энергии, тепла, различных примесей и т.д. При этом перенос импульса обусловливает трение между слоями, перенос тепла – турбулентную теплопроводность, перенос примесей – турбулентную диффузию. Механизм этого турбулентного перемешивания (переноса) одинаков для любой субстанции.

Для того, чтобы показать, как вводится в расчет длина пути перемешивания l рассмотрим турбулентный поток, движущийся вдоль стенки. Скорость жидкости изменяется поперек потока по эпюре, изображенной на рисунке. Пусть некоторая масса жидкости из слоя, находящегося на расстоянии y от стенки, перемещается перпендикулярно осредненной скорости в слой жидкости, расположенный на расстоянии y+l от стенки. Если предположить, что при перемещении эта масса жидкости сохранила ту же скорость , то при переходе в вышерасположенный слой ее скорость будет отличаться на величину:

,

Эту величину можно рассматривать как величину пропорциональную пульсации скорости , поскольку именно она является физическим условием возникновения пульсаций. Что касается пульсационной скорости , то можно представить, что жидкие частицы, попадающие в рассматриваемый слой сверху и снизу (с разных сторон) будут двигаться в нем либо сближаясь, либо удаляясь друг от друга с относительной скоростью . Это дает основание полагать, что пульсационная скорость также должна иметь величину порядка: . Таким образом, дополнительное турбулентное напряжение выражается формулой, получившей название формула Прандтля:

где - длина пути перемешивания.

Обозначив можно переписать полученное соотношение в форме: , по своей структуре формально совпадающей с формулой Ньютона для вязкого напряжения: . При этом величина η также имеет размерность динамического коэффициента вязкости, однако численное значение η в турбулентных потоках превышает соответствующую величину μ в десятки, а иногда – в сотни тысяч раз. Величину η называют обычно турбулентной вязкостью, и она отличается от молекулярной вязкости еще и тем, что изменяется при переходе от одной точки потока к другой.

Может показаться, что формула Прандтля не имеет каких-либо существенных преимуществ по сравнению с формулой Буссинеска, поскольку единственным очевидным результатом является замена одной, не поддающейся вычислению величины η, другой – l. Однако это не так, поскольку величину l оценить проще, чем η. Для ее оценки существуют общие соображения, в частности, l не может быть больше размера канала и должна стремиться к нулю вблизи твердой стенки (поперечное движение у стенки невозможно). Длина пути перемешивания в разных местах турбулентного потока, вообще говоря, неодинакова. Вычислить эту длину без каких-либо дополнительных предположений невозможно, но в отдельных случаях можно найти для нее приближенную оценку, дающую неплохие практические результаты.

Количественная закономерность для пути перемешивания в турбулентном движении около твердой стенки была установлена позднее Т.Карманом с использованием принципа подобия пульсационных скоростей:

,

где χ – эмпирическая безразмерная постоянная. Согласно предложенной Карманом формуле длина пути перемешивания зависит не от модуля скорости, а от распределения скоростей. Постоянная χ может быть определена только из опыта и представляет собой универсальную константу, одинаковую для всех турбулентных течений. Для турбулентного касательного напряжения при этом получается соотношение:

Дата добавления: 2014-01-05