Удаление полиномиального тренда

Лекция 3.

Тренд – тенденция медленного изменения ВР. Наиболее частые причины появления трендов: наличие низкочастотных возмущений, неправильная калибровка и пр. Наилучший способ удаления тренда – применение высокочастотных фильтров. (О фильтрах: масляной, питьевой, …).

Полиномиальный тренд (ПТ) – тренд, удовлетворительно описываемый полиномом степени k.

Идентификация ПТ возможна с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Пусть x(i) – ВР длиной N, являющийся результатом АЦП сигала с периодом дискретизации Т. i = 0…N-1.

Требуется подобрать полином порядка k (обычно ≤4), описывающий тренд:

, i=0…N-1 (3.1)

Для нахождения по МНК оценок коэффициентов c_j нужно найти минимум суммы квадратов отклонений значений наблюдаемых от значений, предсказанных по модели (3.1):

Таким образом, задача нахождения оценок коэффициентов ПТ является задачей поиска экстремума функции S.

Находя производные

; j=0…k

и зануляя их, получим систему нормальных уравнений, которые можно записать в виде

, j=0…k (3.2)

При k=0, т.е. при отсутствии тренда получим выражение для среднего значения ВР: .

При k=1 имеет место линейный тренд. Решая систему (3.2), находим:

Вычисления упрощаются, если N нечетное, а интервал i симметричен:

i Є [].

Тогда используемый полином удобнее записать в нормированном (безразмерном) времени i:

(3.3)

В этом случае значения коэффициентов d_j полинома (3.3) равны:

k=1: ;

k=2: ; ;

k=3: ; ;

; .

Здесь ; ;

; .

Связь между коэффициентами с_j и d_j в моделях (3.1) и (3.3) можно установить, подставив в (3.3) вместо i , преобразовав результат к виду (3.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях (iT). Для удаления тренда предсказанные по моделям значения вычитаются из ВР:

.

Дата добавления: 2014-01-05